内容发布更新时间 : 2024/6/24 21:36:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

等比数列的综合应用

A组 基础巩固 1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A．31 B．33 C．35 D．37 S10－S55解析：根据等比数列性质得＝q， S51答案：B 2．在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是( ) A．14 B．16 C．18 D．20 解析：S4＝1，S8＝3.∴S8－S4＝2， ∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16，…，成等比数列，且公比为2， 4∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝1·2＝16. 答案：B 3．如果一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为96，则此等比数列的项数为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 解析：设等比数列为{an}，其项数为2n，公比为q，则a1＝1，an＋an＋1＝96. a2－q2na1－q2nS偶＝，S奇＝. 221－q1－q由S偶＝2S奇，得a2＝2a1＝2.∴q＝2. n－1n由an＋an＋1＝96，得2＋2＝96. n－1n－1∴3·2＝96，即2＝32， ∴n＝6,2n＝12. 答案：A ∴S10－1＝2，∴S10＝33. 5a394．在等比数列中，已知aaa＝243，则的值为( ) a1131815A．3 B．9 C．27 D．81 2解析：∵a1a15＝a8， 55∴a8＝243＝3，∴a8＝3， a3a9·a7·a1192∴＝＝a9·a7＝a8＝9. a11a11答案：B 1??1??11??115．1＋?1＋?＋?1＋＋?＋…＋?1＋＋＋…＋10?的值为( ) 2??2??24??2411A．18＋9 B．20＋10 2211C．22＋11 D．18＋10 22111?1?解析：该数列的通项为an＝1＋＋＋…＋n－1＝2?1－n?，可以看作11项求和，则前11项的和为S11242?2?11?1－11???2?2?1?1?1?1???＝2?1－?＋2?1－2?＋…＋2?1－11?＝2×11－2×＝20＋10，所以B正确． 12?2??2??2?1－2答案：B

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26．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝Sn·Sn－1(n≥2)，a1＝，则a10等于( ) 944A. B. 9745C. D. 6363解析：由an＝Sn·Sn－1(n≥2)， 得Sn－Sn－1＝Sn·Sn－1(n≥2)， 111911∴－＝－1，∴＝－n＋1＝－n， SnSn－1Sn222∴Sn＝， 11－2n224∴a10＝S10－S9＝－＝. 11－2011－1863答案：C 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16成等比数列． T12T8T12T16，成等比数列． T4T8T12解析：对于等比数列，通过类比，若等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，答案： T8T12 T4T8??bnbn＋1?8．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?31??的前n项和Sn＝________. 解析：∵a1＝3，a4＝81，∴3q＝81， n－1n∴q＝3，an＝3×3＝3， 11n∴bn＝log33＝n，＝， bnbn＋1nn＋11111111∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋b1b2b2b3b3b4bn－1bnbnbn＋11×22×33×4?11??11??1－1? ＋?－?＋?－?＋…＋???23??34??n－1n?1?1n?1＋?－＝1－＝. ?n＋1n＋1?nn＋1?答案：1n－nn＋1n＋?1?＝?1－??2?nn＋1 9．已知等差数列{an}满足a2＝0，.a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列??an?n－1??2?的前n项和． ??a1＋d＝0，解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件，得??2a1＋12d＝－10.? ??a1＝1，解得??d＝－1.? 故数列{an}的通项公式为an＝2－n. (2)设数列??an?n－1??2?的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋＋…＋n－1. 22故S1＝1，＝＋＋…＋n. 2242所以，当n>1时，

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a2anSna1a2an

Sn2－n n－12221?2－n?11＝1－?＋＋…＋n－1?－n 2?2?241?2－nn?＝1－?1－n－1?－n＝n. 2?2?2所以Sn＝n－1.当n＝1时，S1符合此式． 2综上，数列?. 22**10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋n，n∈N，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N. (1)求an，bn； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 2解：(1)由Sn＝2n＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3； *当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，当n＝1时也适合，所以an＝4n－1，n∈N. n－1*由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2，n∈N. n－1*(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2，n∈N， 2n－1所以Tn＝3＋7×2＋11×2＋…＋(4n－1)·2， 2n－1n2Tn＝3×2＋7×2＋…＋(4n－5)·2＋(4n－1)·2， n2n－1n所以2Tn－Tn＝(4n－1)·2－[3＋4(2＋2＋…＋2)]＝(4n－5)·2＋5. n*故Tn＝(4n－5)·2＋5，n∈N. B组 能力提升 11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) ?2n－1?＝a1＋a2－a1＋…＋an－an－1ann?an??的前n项和Sn＝nn－1a5S5a3S3an＋1Sn＋1C. D. anSnA. B. 解析：设等比数列{an}的公比为q，则8a1q＋a1q＝0，得q＝－2， a52an＋1S51－q511Sn＋11－qn＋1∴＝q＝4；＝q＝－2；＝＝；而＝n，由于n未知，故无法确定其值． a3anS31－q33Sn1－q答案：D *12．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________. 22解析：由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq＋anq－2an＝0，显然an≠0，所以q＋q－2＝0.又q≠1，解得q＝51×[1－－]－2.又a1＝1，所以S5＝＝11. 1－－答案：11 213．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝2； 22当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(n－1)＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2， 即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列． 设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1， 11n－1∴q＝.故bn＝b1q＝2×n－1. 442即{bn}的通项公式为bn＝n－1. 44anbn 3