内容发布更新时间 : 2024/4/25 15:44:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.复习
(1) 线性分组码
① 线性分组码定义
?n,k?线性分组码是把信息码元序列的每k个码元分成一组，通过线性变换，映射成由n个码元组成的码组（码字）。
② 线性分组码的性质
· 一个?n,k?线性分组码共有2k个（许用）码组； · 对加法满足封闭性；
· 全零码是线性分组码中的一个码组；
· 线性分组码的最小码距等于除全零码外的码组的最小重量。
③ 生成矩阵特性：
· 生成矩阵可以产生整个码组，即A= mG；
· （生成矩阵与码组关系）生成矩阵的各行本身就是一个码组，并且它们是
线性无关的；
· （生成矩阵与系统码）典型生成矩阵具有如下的形式：G=?Ik?Q?，并且由
典型生成矩阵得出的码组称为系统码。非典型生成矩阵可以通过线性代数中的任何一种初等行变换和列交换，得到典型生成矩阵。
系统码结构：
④ 监督矩阵特性：
·发送码组A正交于监督矩阵H的任意一个行矢量，即AHT?0； · 典型监督矩阵具有如下的形式：H??P?Ir?；
· 典型阵G与典型阵H可以互相转换，即Q?PT或P?QT。
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⑤ 译码过程
a) 利用式S?BHT计算校正子；
?； b) 解方程S?EHT，求出E ·当校正子的组合数目不少于可纠正错误图样的数目时，S与E之间一一对应（参见例10.3.2中汉明码）；
·若方程S?EHT有多解（解E是不唯一），则可以运用概率译码的处理?。 方法从可能的错误图样E0,E1,?,E2K?1中选出错误图样的估值E?。 c) 由A?B?E求出发送码组估值A??
(2) 汉明码
① 汉明码是一类能纠正单个随机错误的线性分组码。
② 二进制汉明码应满足条件：2n?k?1?n，因此，汉明码的校正子S?BHT和可纠正错误图样E是一一对应的，即式S?EHT中的S与E之间一一对应。
③ 线性分组码中（7，4），（15，11），（31，26），（63，57），（127，120），（255，247），…是汉明码
④ n个单个错误的校正子就是监督矩阵H矩阵的每一列。利用汉明码H矩阵所具有的这种特殊性质，来定位错码的位置。
2.本次课学习的主要内容 10.4 循环码
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10.4 循环码
·循环码是线性分组码中最重要的一个子类。目前，实用差错控制系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码或循环码的子类(如BCH码等)。
· 循环码除了具有线性分组码的封闭性外，还具有一个独特的特点：循环性。循环码的这一外在特点，给循环码的编译码实现带来了便利。
·所谓循环性是指：一个?n,k?循环码中每个码组经任意循环移位之后，仍然是一个码组。表10.4.1给出了一种（7，3）循环码的全部码组。其中，全零码组自身形成一个封闭的自我循环，其余码组形成一个周期为n?7循环环。可见，循环码是指它的任一码组循环移位后仍然是码组，而不是所有码组都可由一个码组循环而得。
表10.4.1 （7，3）循环码的全部码组 码组编号 信息位 编码码组 码组编号 信息位 编码码组 1 000 0000000 5 100 1001011 2 001 0010111 6 101 1011100 3 010 0101110 7 110 1100101 4 011 0111001 8 111 1110010
10.4.1 循环码的多项式描述
1. 码多项式 定义：码组A = ?an?1,?,a1,a0?的码多项式为
T?x??an?1xn?1???a1x?a0 （10.4.1） 例如，码组A =（1100101）可以表示为T?x??x6?x5?x2?1。
在码多项式中，x的幂次指示码元的位置，其系数代表码元的取值。因此，我们并不关心x本身的值。
2. 码多项式的按模运算
若一任意多项式F?x?被一n次多项式N?x?除，得到商式Q?x?和一个次数小于n的余式R?x?，即
F?x?R?x??Q?x?? （10.4.2） N?x?N?x?或 F?x??N?x?Q?x??R?x? （10.4.3）
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