内容发布更新时间 : 2024/7/1 12:39:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初中数学竞赛辅导资料（）

经验归纳法

甲内容提要

．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － ) ＝ ，（－ ） ＝－ ，（－ ） ＝ ，……， 归纳出 － 的奇次幂是－ ，而－ 的偶次幂 是 。 ②由两位数从 到 共 个（ × ），

三位数从 到 共个（×）， 四位数有×＝个（×）， …………

归纳出 位数共有×(个) ③ 由, , ……

推断出从开始的个連续奇数的和等于等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 . 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

乙例题

例1 平面内条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 第条直线和前两条直线都相交，增加了个交点，得＋ 第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，得＋＋ 第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，得＋＋＋

………

第条直线和前－条直线都相交，增加了－个交点

由此断定 条直线两两相交，最多有交点＋＋＋……－（个）， 这里≥，其和可表示为［（）］×

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n?1n(n?1), 即个交点。 22

例．符号！表示正整数从到的連乘积，读作的阶乘。例如 ！＝××××。试比较与（）！的大小（ 是正整数） 解：当 ＝时，＝, （＋）！＝×＝ 当 ＝时，＝， （＋）！＝××＝ 当 ＝时，＝, （＋）！＝×××＝ 当 ＝时，＝, （＋）！＝××××＝ 当 ＝时，＝, （＋）！＝！＝ …… 猜想其结论是：当＝，，时，＞（＋）！，当>时＜（＋）！。 例 求适合等式＋……的正整数解。

分析：这个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从个，个，个……直到发现规律为止。 解：的正整数解是

的正整数解是 的正整数解是 的正整数解是 的正整数解是 ………… 由此猜想结论是：适合等式＋……的正整数解为＝……, ， 。 丙练习

1． 除以余的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿

个，位数有＿＿＿＿个。 2． 十进制的两位数a1a2可记作＋,三位数a1a2a3记作,四位数

记作＿＿＿＿，位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿

3． 由＋＝（＋），＋＋＝（＋＋），＋＋＋

＝（＿＿＿） ＋＿＿＿＿＿＿＝，＋＋…＋( )。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①111；111。 －222????1??????2＝（＿＿＿）????1－222??????2＝（ ＿＿）

；

a1a2a3a410个15个22n个1n个2②111；1156＝（＿＿＿＿）??115556＝（＿＿＿）

????155??????????????9位9位n位n位

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5． 把自然数到一个个地排下去：…………

① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 ．计算

1111＋＋＋…＋＝

11?1212?1313?1419?20 （提示把每个分数写成两个分数的差）

．是正整数，试比较和()的大小. ．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽等分，把长等分，分成个 小长方形，那么这个长方形中，

两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。 本题如果改为把宽等分,长等分(都是大于的自然数)那么这个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个

．把表面涂有红色的正方体的各棱都等分，切成个小正方体，那么这个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。

本题如果改为把长等分,宽等分,高等分，（都是大于的自然数）那么这个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。

．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。

．已知两个正整数的积等于，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。

练习

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