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2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷
一、选择题.
1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ） A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
2．在平面区域M＝{（x，y）|率（ ） A．
B．
}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概
C． D．
3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题： ①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m； ②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β； ④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β． 其中正确的命题有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝logmx在（0，+∞）上为减函数”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．若函数f（x）＝﹣cosx+ax为增函数，则实数a的取值范围为（ ） A．[﹣1，+∞）
B．[1，+∞）
C．（﹣1，+∞）
D．（1，+∞）
6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代名著《庄子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）
A B C D
① i≤7？ i≤128？ i≤7？ i≤128？
② s＝s﹣ s＝s﹣ s＝s﹣s＝s﹣
③ i＝i+1 i＝2i i＝i+1 i＝2i
A．A 8．若A．1
B．B C．C D．D
展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（ ）
B．5
C．10
D．20
9．复数i3（1+i）2＝（ ） A．2
B．﹣2
C．2i
D．﹣2i
10．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（ ） A．
B．
C．
D．2
11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上
存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝
3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ） A．（二、填空题
13．已知tanx＝2，求cos2x＝ ． 14．若D点在三角形ABC的边BC上，且
，
）
B．（，
）
C．（，）
，其中m＞0，若方程
D．（，）
，则3r+s的值为 ．
15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为 ． 16．观察下列算式： 13＝1， 23＝3+5， 33＝7+9+11， 43＝13+15+17+19 ……
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝ ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2A﹣asin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为
，求
的值．
18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，
其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．
（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；
（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．
19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB （1）求证：PO⊥面ABCE．
（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．
20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴
和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）． （1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）； （2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．