内容发布更新时间 : 2025/3/26 9:06:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

教育

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

三维目标：

1、知识与技能：

（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；

（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系； （4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，

会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法

（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识

事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；

（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、

严谨的思维习惯以及解题的规范性。

（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不

断从感性认识提高到理性认识，。 3、情态与价值观

（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽

象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学

好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。

（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、

勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；

教学重点：

平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题) 教学难点：

平面向量的数量积与向量投影的关系； 运算律的理解和平面向量数量积的应用。 教学过程：

一、情景导入、引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么 ？ 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

二、合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量，

教育（一）

F α S 教育

②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos?叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos?

（2）定义说明：

①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。

（4）学生讨论，并完成下表：

?的范围 a·b的符号 0°≤?<90° ?=90° 0°

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°， ∴a·b＝０；

③当a与b的夹角是60°时，有

教育（一）

教育

a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×

1＝9 2评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°

或180°两种可能. 探究二：研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念：

如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=︱│b│︱cos?

注：投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|.

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 ︱b︱cos? 的乘积。

探究三：探究数量积的运算性质 1、数量积的性质

性质：若ａ和ｂ均为非零向量

（1）ａ⊥ｂ?ａ·ｂ＝0 （垂直）

（2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ =︱ａ︱·︱ｂ︱，ａ与ｂ 反向 时，ａ·ｂ =-︱ａ︱·︱ｂ︱ 特别地：ａ·ａ=︱ａ︱ =a?a （长度）

2

（3）cosθ=

a?b（夹角） a?b（4）︱ａ·ｂ︱ ≤︱ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件）

2、探究题组二（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b ）·（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：（a+2b ）·（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b =36-3×4×6×0.5-6×4×4

= -72

评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(a+b)=a+2a·b+b

2

2

2

（2）(a+b )·(a-b)= a—b

2

2

探究四、数量积的运算律：

（1）交换律： ； （2）对数乘的结合律： ； （3）分配律：

教育（一）