人教版八年级上册数学 12.2 第4课时 “斜边、直角边” 优秀教案 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 16:17:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4课时 “斜边、直角边”

即BF=CE.∵∠A=∠D=90°,∴△ABF与

△DCE都为直角三角形.在Rt△ABF和Rt△

1.理解并掌握三角形全等的判定方法

??BF=CE,

——“斜边、直角边”.(重点) DCE中,∵?

?AB=CD,?

2.经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程,能运用“斜边、直角边”判定方∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 法解决有关问题.(难点) 方法总结:利用“HL”判定三角形全等,

首先要判定这两个三角形是直角三角形, 然 后找出对应的斜边和直角边相等即可.

探究点二:“斜边、直角边”判定三角

形全等的运用

一、情境导入 【类型一】 利用“HL”判定线段相等 舞台背景的形状是两个直角三角形,工 如图,已知AD,AF分别是两个钝作人员想知道这两个直角三角形是否全等,角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住AE.求证:BC=BE. 无法测量.

(1)你能帮他想个办法吗?

(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?

工作人员测量了每个三角形没有被遮解析:根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE,住的直角边和斜边,发现它们分别对应相得CD=EF,再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等△ABF,得BD=BF,最后证明BC=BE. 的”,你相信他的结论吗? 证明:∵AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.∵AD=AF,AB=AB,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.∴BD-CD=BF-EF.即BC=BE.

二、合作探究 方法总结:证明线段相等可通过证明三探究点一:应用“斜边、直角边”判定角形全等解决,作为“HL”公理就是直角三三角形全等 角形独有的判定方法.所以直角三角形的判

如图,已知∠A=∠D=90°,E、定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个

F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=隐含的已知条件. CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE. 【类型二】 利用“HL”判定角相等或线段平行 如图,AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD,

求证:∠1=∠2.

解析:由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形,由BE=CF可得BF=CE,然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等.

证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,

解析:要证角相等,可先证明全等.即证Rt△ABC≌Rt△ADC,进而得出角相等.

证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°,∴△ABC与△ACD为直角三角形.在Rt△ABC和Rt△ADC中,∵?

??

AB=AD,??AC=AC,

∴Rt

△ABC≌Rt△ADC(HL),∴∠1=∠2.

方法总结:证明角相等可通过证明三角形全等解决.

【类型三】 利用“HL”解决动点问题 如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等?

解析:本题要分情况讨论:(1)Rt△APQ≌Rt△CBA,此时AP=BC=5cm,可据此求出P点的位置.(2)Rt△QAP≌Rt△BCA,此时AP=AC,P、C重合.

解:根据三角形全等的判定方法HL可知:(1)当P运动到AP=BC时,∵∠C=∠QAP=90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵

???AP=BC,?∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),∴AP?

PQ=AB,=BC=5cm;(2)当P运动到与C点重合时,

AP=AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中,∵

???AP=AC,??

PQ=AB,∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL),∴AP=AC=10cm,∴当AP=5cm或10cm时,△ABC才能和△APQ全等.

方法总结:判定三角形全等的关键是找

对应边和对应角,由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解.

【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等 如图,CD⊥AB于D点,BE⊥AC于

E点,BE,CD交于O点,且AO平分∠BAC.求证:OB=OC.

解析:已知BE⊥AC,CD⊥AB可推出∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°,由AO平分∠BAC可知∠1=∠2,然后根据AAS证得△AOD≌△AOE,根据ASA证得△BOD≌△COE,即可证得OB=OC.

证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°.∵AO平分∠BAC,∴∠1=∠2.在△AOD和△AOE中,?∵?

∠ADC=∠AEB,?∠1=∠2, ??OA=OA,

∴△AOD≌△AOE(AAS).∴OD=OE.在?△BOD和△COE中,∵?

∠BDC=∠CEB,?OD=OE,∴△

??∠BOD=∠COE,

BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC.

方法总结:判定直角三角形全等的方法除“HL”外,还有:SSS、SAS、ASA、AAS.

三、板书设计

“斜边、直角边”

1.斜边、直角边:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.

2.方法归纳:

(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”,除此之外,还可以选用“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”.

(2)寻找未知的等边或等角时,常考虑转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.

本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行.在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时,要让学生进行合作交流.在寻找未知的等边或等角时,常考虑将其转移到其他三角形中,利用三角形全等来进行证明.此外,还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.