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用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab编程实现

专业班级： 材料43 学生姓名： 王宏辉 学 号： 2140201060 指导教师：李耀武

完成时间： 2016年6月8日

用蒙特卡洛方法估计积分 方法及matlab编程实现

实验内容：

?2??1用蒙特卡洛方法估计积分 ?xsinxdx，?e-xdx和

020x2?y2?1??ex2?y2dxdy的值，

并将估计值与真值进行比较。

12用蒙特卡洛方法估计积分 ?exdx和

02x2?y2?1??11?x?y44并对误dxdy的值，

差进行估计。

要求：

（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；

（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值； （3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 以评价估计结果的精度。 目的：

（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等；

（2） 熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；

对第1类题）或样本方差（针对第2类题）

（3） 能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。

实验原理：

蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。 具体操作如下：

g(x)一般地，积分S??g(x)dx改写成S??f(x)dx??h(x)f(x)dx的形

f(x)aaabbb式，（其中为f(x)一随机变量X的概率密度函数，且f(x)的支持域)，h(x)?｛x|f(x)?0｝?（a,b）g(x)）;令Y=h(X)，则积分S=E（Y）；利用f(x)matlab软件，编程产生随机变量X的随机数，在由

?1,x?(a,b)，得到随机变量Y的随机数，求出样本均y?h(x)I(x), I(x)???0,x?(a,b)值，以此估计积分值。

积分S???g(x,y)dxdy的求法与上述方法类似，在此不赘述。

A概率密度函数的选取：

一重积分，由于要求f(x)的支持域，为使方法普｛x|f(x)?0｝?（a,b）1?2遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数f(x)?e支持域为

2?x2R，故选用f(x)?1e2??x22。

1e2??x2?y22类似的，二重积分选用f(x,y)?，支持域为R2。

估计评价：

进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积不出）以评价估计结果的精度。

程序设计：

依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。

为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function 语句构造，求不同区域二重积分，只需改变function 函数内容。

编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。

程序代码及运行结果：

第一类一重积分程序代码：

%%%构造示性函数 function I=I1(x,a,b) if x>=a&&x<=b I=1; else I=0; end

%保存为I1.m %%%%%%%%%%%%%%%%

%%第一类一重积分,程序主体： %保存为f11.m

function outf11=f11()

g1=input('输入一元被积函数如x.*sin(x):','s')%输入被积函数

g1=inline(g1);

a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限 b=input('输入积分上界b:');

Real=input('积分真值:');%输入积分真值 fprintf('输入样本容量 10^V1--10^V2:\\r') V=zeros(1,2);

V(1)=input('V1:');%输入样本容量 V(2)=input('V2:');

for m=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2 n=10^m for j=1:10 x=randn(1,n); for i=1:n

t1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量 end