内容发布更新时间 : 2024/5/16 12:08:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
概率统计中的反例
前言
第一章 随机事件及其概率
1． 同一问题的概型未必唯一 2． 事件间的关系
（1） 由A?B?C推不出 A?B?C （2） 由A?B?C推不出A?B?C
（3） A?(B?C)?(A?B)?C3． 概率为零的事件未必是不可能的事件 4． 由概率关系推不出事件间关系 5． 试验次数多概率就一定大吗？ 6． 概率与抽样方式是否有关
7． 事件概率与试验的先后次序是否有关
第二章 随机变量极其分布
1． 离散型分布的最可能值是否唯一
2． 单调不降右连续是分布函数的必要而非充分条件 3． 既非离散型又非连续型的分布函数是否存在 4． 具有无记忆性的离散型分布是否存在 5． 不几乎相等的随机变量是否有相同的分布 6． 联合分布与其边缘分布未必是同类型分布 7． 边缘分布不能决定联合分布
8． 不同的联合分布可具有相同的边缘分布 9． 正态边缘分布可由非正态联合分布导出 10. 均匀分布不具有可加性 11. 分布函数之和不是分布函数
第三章 独立性与相关性相容性
1． 两两独立但不相互独立
2． P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但A,B,C不两两独立3． 独立关系不具有传递性
4． 随机变量不独立，但其函数可以独立 5． X与Y不独立，但X2与Y2独立 6． X与Y不独立，但有相同分布 7． 既不相关也不独立的随机变量
8． 随机变量独立但它们的函数未必独立 9． 独立性与相容性
10. 独立同分布的随机变量是否必相等 11. 有函数关系的随机变量是否一定不独立 第四章 随机变量的数字特征
1． 随机变量的数学期望未必都存在 2． 随机变量的方差未必都存在 3． 数学期望存在但方差不存在
4． X的函数的期望是否等于X的期望的函数 5． X的各阶矩都存在也不能确定X的分布函数 6． 满足E(XY)=E(X)E(Y)的X,Y未必独立
第五章 参数估计与假设检验
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1． 矩估计是否有唯一性 2． 矩估计不具有“不变性” 3． 极大似然估计是否有唯一性
4． 似然方程的解未必是极大似然估计 5． 参数估计的无偏性与一致性有无关系 6． 无偏估计是否唯一
7． 零假设与备择假设是否处于对等的地位
前 言
数学是由两个大类——证明和反例组成数学发现主要是提出证明和构造反例 从科学性来讲
反例就是推翻错误命题的有效手段 从教学上而言
反例能够加深对正确结论的全面理解
【美】B.R.盖尔鲍姆曾说
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“一个数学问题用一个反例予以解决 给人的刺激犹如一出好的戏剧” 相信读了《概率统计中的反例》后 我们大家都会有这一同感
第一章 随机事件及其概率
1． 同一问题的概型未必唯一
概型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际本身，而是实际的数学抽象。对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概型。
由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概型往往不是唯一的。
概率论中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13 科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概型的问题，内容是：设有r个球，每个都能以相同概率1/n落到n个盒子（n>=r）的每一个盒子中，求指定的某r个盒子中各有一个球的概率。
如果我们把r各球视作r个人，而把n个盒子视为一年的天数：n=365.这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概型。此问题是求参加某次集会的几个人中，没有n个人生日相同的概率。
众所周知，关于球彼此间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概型：
（1） 马克斯威尔－波尔茨曼 认为球彼此之间有区别，且对每盒中可
容纳球数不加限制；
（2） 玻色－爱因斯坦 认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数
不加限制；
（3） 费密－狄雷克 认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳
二个球。
后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况
（4） 布里龙 认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见杨宗磐《概率论入门》 P.13 科学出版社）
以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计：球可看作为质点，盒子看作状态。
再看一例：n个人围成一个圆周，求其中甲、乙两人之间恰有r( （2） 仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组； 3