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《数值分析》 课程试题

（2005—2006学年第二学期）

专业年级 姓名 题号 分数 1 2 3 14 5 6 7 总 分 1、（15分）设积分 In??0xndx,n?0,1,2,...， x?51，(n?1)。 n（1）验证I0?ln1.2，In??5In?1?（2）证明：若已知ln1.2的近似值，按上述递推公式计算I1,I2,...,In,?的近似值，其误差是逐次递增的；

（3）使建立一种递推公式，使得按该递推公式计算，其误差是逐次递减的。 2、（10分）证明若f(x)?C2[a,b]，f(a)?f(b)?0，则：

max|f (x)|?a?x?b1?b?a?2max|f ?? (x)|

a?x?b83、（15分）在区间[?1,1]上带权?(x)=1?x2的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为

Un(x)=

sin[(n?1)arccosx]1?x2

（1）证明：切比雪夫多项式{Un(x)}在区间[?1,1]上带权?(x)=1?x2正交； （2）证明：{Un(x)}有递推关系

Un?1(x)=2xUn(x)?Un?1(x)。 4、（10分）给定求积公式

2h??2hf(x)dx?Af(?h)?Bf(0)?Cf(h)

试决定A,B,C使它的代数精度尽可能的高，并指出其代数精度。

5、（15分）设方程3?3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x*，若采用如下迭代公式

2xn?1?1?sinxn

3（1）证明：?x0?[0，1]均有limxn?x*（x*为方程的根)；

n??（2）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论。 6、（10分）用平方根法解方程组

7、（15分）设

对方程组Ax?b，么？

??1648??x1???4??45?4?????x?=?23? ?????8?422???x3????10????211?A=?121? ?112????Jacobi迭代是否收敛？Gauss?Seidel迭代是否收敛？为什

二 设A????21??1???, b???2?? 12????1）求矩阵A的条件数Cond (A)1 2）设x(k)是由 Jacobi 迭代求解方程组Ax=b所产生的迭代向量，x(0)?(1,1)T写出x(k)的精

确表达式。

3）设x*是Ax=b的精确解，写出误差x(k)x*的精确表达式。

?4）如构造如下的迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)解方程组Ax=b，试 确定?的范围，使迭代收敛。

*三 设有解方程3-3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x，

若采用如下迭代公式xn?1?1?n??2sinxn 3**(1) 证明?x0?R均有limxn?x(x为方程的根)；

*?6(2) 取x0?0，要迭代多少次能保证误差xk?x?10？

(3) 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

四1）设?Pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次项系数为1的正交多项式系，求P2(x) 2）构造如下的Gauss型求积公式五 设有常微分方程组

?xf(x)dx?A010f(x0)?A1f(x1)

????du??A(t)u(t)?b(t) ?dt （1）

????u(t0)?a???其中u(t),b(t),a为n维向量，A(t)维n?n矩阵