内容发布更新时间 : 2024/6/30 14:51:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿
Quantum Mechanics for undergraduates
在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。 一、守衡量
?在任意态?(t)上的平均值随时间演化的规律为 力学量A?为体系的哈密顿量。 其中H??(t)，A(t)对时间t求导得 ?的平均值表示为A(t)??(t),A[证明] 力学量A?dA(t)1?????A??A,H?? ?dti?t1、 守恒量的定义
??t?0， 当?A?,H?不显含t， 即?A?称为守恒量。 ???0，那么力学量A若A2、守恒量的性质
(1)、在任意态?(t)上，守恒量的平均值都不随时间变化dAdt?0。
第五章 力学量随时间的演化与守恒量
§1 力学量随时间的变化
??A?1dA?,H??， ???A?dt?ti???????dA(t)???(t)???(t)???A???,A?(t)????(t),A??(t),?(t)?????dt?t?t?t???????1???1?????A? ??H?(t),A?(t)????(t),AH?(t)??i?i????t?11?A???? ???(t),HA?(t)??(t),AH?(t)?ii?t
?????1?????A ??A,H??i?t?? 1
东北师范大学本科生物理专业量子力学课程讲稿
Quantum Mechanics for undergraduates
(2)、在任意态?(t)上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
?,H?]?0知，存在正交归一的共同本征函数组???（n是一组完备的量子数）[证明] 由于[A，即 n???E???Hnnn ? 正交归一化条件??n,?m???mn
???A?n?An?n对于体系的任意状态?(t)可展开为： ?(t)??时，得到本征值A的几率为|a(t)|， 而 在体系的任意态?(t)上测量力学量Ann2?时， 测得A的几率a(t)分这表明|an(t)|是与时间无关的量。因而， 在任意状态下测量守恒量Ann2布不随时间t变化。
3、在量子力学中的守衡量具有的特殊性
(1)、量子体系的守恒量不一定取确定值， 但取值几率分布确定。
?的本征态?，那么以后任何时刻它都处于A?的本征态，而测得值为相应的若体系在t?0时，处于An?的本征值为体系的“好量子数”本征值An。习惯称A。
?的本征态，那么以后任何时刻它将“保持”不处于A?的本征态，但“保若当t?0时，体系不处于A?的各本征态的几率分布不变。 持”处于A ?a(t)?nnn， 展开系数为an(t)???n,?(t)?
*dan(t)da(t)d2*an(t)?an(t)?an(t)ndtdtdt??(t)????(t)????,?n???n,?(t)????(t),?n???n,??t???t??1???(t)1??(t)???i,??,?(t)??(t),??,i????n?nn?n??i??ti?t? ??1?1??(t) ??H?(t),?n??n,?(t)????(t),?n??n,Hii1????,?(t)??1??(t),??H??,?(t) ???(t),HnnnniiEE ??n??(t),?n???n,?(t)??n??(t),?n???n,?(t)??0ii ??????????2 2
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Quantum Mechanics for undergraduates
(2)、体系的各个守恒量不一定都能同时取确定值。
?2p??2,L?,L?,L?都是守恒量，但由于L?,L?,L?彼此不对易，故不能同时取确定?V(r)，虽然L如H?xyzxyz2m值（角动量l?0的态除外）。
(3)、在定态下，一切不显含时力学量平均值和测量值的几率分布都不随时间变化---定态的性质。 (4)、守恒量在任何意态下的平均值以及测得值的概率分布都不随时间变化-----守恒量的性质。
?的本征态）下，守恒量不一定取确定值。 (5)、在定态（H4、能量—时间测不准关系： 根据海森堡测不准关系知：
21?)?(?B?,B?)?i?A??， (?A?4?22??H?，则有 若取B ?A??E??，其平均值随时间t变化为：对于不显含时的算符A ?A??E?若令?A?能量和时间的测不准关系。
显然，当体系处于定态时，dAdt?0，则?A??，而这时?E?0，即能量有确定值。 二、能级简并与守恒量的关系
定理： 若体系具有两个互相不对易的守恒量，那么体系的能级一般是简并的。
?为体系不对易的两个守恒量，即 ?和G[证明] 设F
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1????i?A,H?。 2dA1??????A,H?。 dti1????dA?Ai?A,H?? ???E? 22dt2dAdt。这即为
?AdAdt?的平均值变化?A所需时间；从而有???E?，表示在体系中力学量AA2