水力学第2章 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:09:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

P?Px?Py?Pz222 (2-6-4)

图2-25

例2-4 图2-25为一坝顶圆弧形闸门的示意图。门宽b=6m,弧形门半径R=4m,此门可绕O轴旋转。试求当坝顶水头H=2m、水面与门轴同高、闸门关闭时所受的静水总压力。

解:水的重度γ=9.8kN/m3,水平分力为

Px?22?Hb2?9.8?2?62=117.6(kN)

铅直分力等于压力体ABC内水重。压力体ABC的体积等于扇形AOB的面积减去三角形BOC的面积,再乘以宽度b。已知BC=2m,OB=4m,故∠AOB=30°。

扇形AOB的面积=三角形BOC面积=

3036012112πR=

2

33.1434=4.19(m)

12?2?4cos30=3.46(m)

3

022

BC?OC?2

压力体ABC的体积=(4.19-3.46)36=0.7236=4.38(m) 所以,铅直分力Pz=9.834.38=42.9(kN),方向向上。 作用在闸门上的静水总压力P为

P?Px?Pz?2222117.6?42.9?125.2?kN?

P与水平线的夹角为α,则

tan??PzPx?42.9117.6=0.365 α=20.04°

因为曲面是圆柱面的一部分,各点的压强均与圆柱面垂直且通过圆心O点,所以总压力P的作用线亦必通过O点。

§2-7 潜体及浮体的平衡与稳定性

1.物体的沉浮

一切沉没于液体中漂浮于液面上的物体都受有两个力作用,即物体的重力

G和所受的浮力Pz。重力的作用线通过重心,竖直向下;浮力的作用线通过浮心(Buoyancy Center),竖直向上。物体的重力G与所受浮力Pz的相对大小,决定着物体的沉浮:

当G>Pz时,物体下沉至底,称为沉体。

当G=Pz时,物体潜没于液体中的任意位置而保持平衡,称为潜体(Submerged Bodies)。

当G<Pz时,物体浮出液面,直至液面下部分所排开的液重恰等于物体的重量才保持平衡,这称为浮体(Floating Bodies)。船是其中最显著的例子。

2.潜体的平衡及稳定性

上面提到的重力与浮力相等,物体既不上浮也不下沉,只是潜体保持平衡的必要条件。若要求潜体在水中不发生转动,还必须重力和浮力对任何一点的力矩矢量和都为零。即重心C和浮心D在同一铅垂线上。这样,物体潜没在液体中既不发生移动,也不发生转动,潜体保持平衡。但这种平衡的稳定性,也就是遇到外界扰动,潜体倾斜后,恢复到它原来平衡状态的能力,则取决于重心C和浮心D在铅垂线上的相对位置。当浮心D与重心C重合时(图2-26a),潜体在液体中处于任意方位都是平衡的,称为随遇平衡(Neutral Equilibrium)。

当浮心D在重心C之上时(图2-26b),这样的潜体,在去掉使潜体发生倾斜的外力后,力Pz和G组成的力偶能使它恢复到原来的平衡位置。这种情况下的平衡称为稳定平衡(Stable equilibrium)。

当浮心D在重心C之下时(图2-26c),潜体在去掉外力后Pz和G组成的力偶能使潜体继续翻转,这种情况下的平衡称为不稳定平衡(Unstable Equilibricm)。

图2-26

由此可见,要想潜体(如潜艇)处于稳定状态,就必须使重心位于其浮心之下。 3.浮体的平衡及稳定性

浮体的平衡条件与潜体相同,但它们的稳定性条件是不相同的。

潜体的平衡及稳定性要求重力G与浮力Pz大小相等,作用在同一铅垂线上,且重心C位于浮心D之下。

对于浮体,Pz与G相等是自动满足的,这是物体漂浮的必然结果。但是浮体的浮心D和其重心C的相对位置对于浮体的稳定性,并不像潜体那样,一定要求重心在浮心之下,即使重心在浮心之上也仍有可能稳定。这是因为浮体倾斜后,浮体浸没在液体中的那部分形状改变了,浮心的位置也随之变动,在一定条件下,有可能出现扶正力矩(Restoring Couple),使得浮体仍可保持其稳定性。

图2-27为一对称浮体。通过浮心D和重心C的连线称为浮轴(Floating Axle),在正常情况下,浮轴是铅垂的。当浮体受到某种外力作用(如风吹、浪击等)而发生倾斜时,浮体浸没在液体部分的形状有了改变,从而使浮心D的位置移至D′。此时,通过D′的浮力Pz′的作用线与浮轴相交于M点,称为定倾中心(Metacenter);定倾中心M到原浮心D的距离称为定倾半径(Metacentric Radius),以ρ表示;重心C与原浮心D的距离称为偏心距,以e表示。当浮体倾斜角α不太大(α<10°=的情况下,在实用上,可近似认为M点在浮轴上的位置是不变的。

浮体倾斜后能否恢复到原平衡位置,取决于重心C与定倾中心M的相对位置。如图2-27a所示,浮体倾斜后M点高于C点,即ρ>e,重力G与倾斜后的浮力Pz′产生扶正力矩,使浮体恢复到原来的平衡位置,这种情况称为稳定平衡。反之,如图2-27b所示,M点低于C点,即ρ<e,G与Pz′产生一倾覆力矩,使浮体更趋于倾倒,这种情况称为不稳定平衡。当浮体倾斜后,M点与C点重合,即ρ=e,G与Pz′不会产生力矩,此种情况称为随遇平衡。由此可见,浮体保持稳定的条件是:定倾中心M高于重心C,即定倾半径ρ大于偏心距e。

图2-27

对于重心不变的对称浮体,当浮体的形状和重量一定时,重心与浮心之间的偏心距也就确定了,因而浮体的稳定与否要视定倾半径ρ的大小而定。下面讨论确定定倾半径ρ的方法。如图2-27a所示,浮体倾斜一微小角度α以后,浮心D移动了一个水平距离l至D′。从图中知  ??lsin? (2-7-1)

式中,l的大小可以通过对浮体倾斜前后所受浮力的分析求得。浮体倾斜后所受浮力Pz′可以看成是原浮力Pz减去浮出部分AOA′失去的浮力,再加上新浸没

部分BOB′所增加的浮力。根据阿基米德原理知图中的三棱体AOA′与BOB′的体积相等,故浮体倾斜后失去的与增加的浮力亦相等,均以ΔP表示,则有 Pz′=Pz+ΔP-ΔP,利用理论力学中的合力矩定理,对原浮心D取矩,得

Pz′l=Pz20+ΔP2S

故 l??P?SP'z??P?S?Vp (2-7-2)

式中,S为图中两三棱体形心之间的水平距离;VP为浮体所排开的液体体积(即浮体的压力体体积)。

从图2-27知,当浮体倾斜角α较小时,三棱体的微小体积dV(图2-27c中阴影处)所受的浮力为

dP=γdV=γ2αy2L2dy=γ2αydA

式中L为浮体纵向长度;dA=L2dy为原浮面(即浮体与液面相交的平面上)上的微小面积,根据合力矩定理,将三棱柱所受浮力对O取矩,得

ΔP2S=∫AydP=γα∫Ay2dA=γαJ

的惯性矩。

将式(2-7-2)、(2-7-3)代入式(2-7-4),得定倾半径

??J (2-7-3)

式中J=∫Ay2dA为全部浮面面积A对其中心纵轴O-O(即浮体倾斜时绕其转动的轴)

?VPsin?

当浮体倾斜角α比较小(α<10°=时,α≈sinα,上式成为 ??JVP (2-7-4)

由此可见,浮体定倾半径ρ的大小,与浮面对中心纵轴O-O的惯性矩J及浮体所排开的液体体积VP有关。求出定倾半径ρ以后,将其与偏心距e比较,便可判明浮体是否稳定。

以上讨论是浮体的横向稳定性问题,浮体的纵向稳定性远较其横向稳定性高,一般不必再作检算。

例2-5 一沉箱长度L=8m,宽度b=4m,重G=1000kN,重心C距底1.95m(如图2-28所示)。试校核该沉箱漂浮时的稳定性。

图2-28

解:设沉箱在水面上漂浮时的吃水深度为h,则据阿基米德原理有

G=γVP=γLbh G1000 h?=3.19m ??Lb9.8?8?4h2?3.192故

沉箱浮心D距底为=1.60m,则偏心距

e=CD=1.95-1.60=0.35m

定倾半径

1??JVP?12LbhLb3?b212h?4212?3.19=0.42m

因ρ>e,故沉箱漂浮时是稳定的。

习 题

2-1 一封闭盛水容器如图所示,U形管测压计液面高于容器液面h=1.5m,求容器液面的相对压强p0。

题2-1图 题2-2图

2-2 一封闭水箱如图所示,金属测压计测得的压强值为4900Pa(相对压强),测压计中心比A点高0.5m,而A点在液面下1.5m。求液面的绝对压强及相对压强。

2-3 一密闭贮液罐,在边上8.0m高度处装有金属测压计,其读数为57.4kPa;另在高度为5.0m处也安装了金属测压计,读数为80.0kPa。求该贮液罐内液体的重度γ和密度ρ。

2-4 图为量测容器中A点压强的真空计。已知z=1m,h=2m,求A点的真空值pv及真空度hv。

2-5 一直立煤气管道如图所示。在底部测压管中测得水柱差h1=100mm,在H=20m高度处的测压管中测得水柱差h2=115mm,管外空气重度γa=12.6N/m3,求管中静止煤气的重度γ。

题2-4图 题2-5图

2-6 根据复式水银测压计(如图示)所示读数:z1=1.8m,z2=0.8m,z3=2.0m,z4=0.9m,zA

=1.5m,z0=2.5m,求压力水箱液面的相对压强p0。(水银的重度γp=133.28kN/m)。

2-7 图中所示给水管路出口阀门关闭时,试确定管路中A、B两点的测压管高度和测压管水头。

2-8 图示水压机的大活塞直径D=0.5m,小活塞直径d=0.2m,a=0.25m,b=1.0m,h=0.4m,

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