自动控制原理 吴怀宇 课后习题 第四章 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:30:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?情况下的根轨迹图。

解:(1)负反馈情况

令s(s?1)(s?2)=0,解得 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??2

根轨迹分支数为3,起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?2,j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?2?,??1,0?两段。

K 试绘制该系统在正、负反馈

s(s?1)(s?2)由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线,它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1

(2k?1)?(2k?1)?=,(k=0,1,2)

n?m3当k=0,1,2时,计算得?a分别为60°,180°,-60° 确定分离点,由

111++=0解得d1??0.42,d2??1.58由于d2不是根轨迹上dd?1d?2的点,故不是分离点,分离点坐标为d1

确定根轨迹与虚轴的交点:控制系统特征方程s?3s?2s?K=0令s=j? 代入上式得?j??3??2j??K=0 写出实部和虚部方程

2???K?3?=0????2??=0或? 可求得 ??3K?0????K?6?2????03232因此,根轨迹在???2处与虚轴相交,交点处的增益K?6;另外实轴上的根轨迹分支在??0处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示

(2)正反馈情况

令s(s?1)(s?2)=0,解得 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??2

根轨迹分支数为3,起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?2,j0) 终点均为无穷远处。 在实轴上的根轨迹为??2,?1?,?0,???两段。

由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线,它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a=?p??zii?1j?1nmjn?m??1

2k?,(k=0,1,2) 3当k=0,1,2时,计算得?a分别为0°,120°,-120° 确定分离点,由

111++=0解得d1??0.42,d2??1.58由于d1不是根轨迹上dd?1d?2的点,故不是分离点,分离点坐标为d2

确定根轨迹与虚轴的交点:控制系统特征方程s?3s?2s-K=0将s=j? 代入上式得?j?3?3?2?2j?-K=0 写出实部和虚部方程

2???-K?3?=0????2??=0或? 可求得 ??3K?0????K?-6?2????032因此,根轨迹在??0处与虚轴相交。正反馈系统根轨迹如下图所示 4-2设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?的复数部分是圆,并求出圆的圆心和半径。

解:系统实轴上的根轨迹为???,?z?,?p,0? 根轨迹分离点坐标满足

K(s+z)(z?p)绘制根轨迹图,证明根轨迹

s(s?p)11122+=解得d1??z?z?pz,d2??z?z?pz dd?pd?z4Kz?(p?K)2p?K系统闭环特征方程s?(p?K)s+Kz=0解得s1,2=- ?j2224Kz?(p?K)2p?K令x=-则 ,y?22p?K2(p?K)22(x?z)=(z-)?z?z(p?K)?24 224Kz?(p?K)(p?K)y2??Kz?442两式相加得(x?z)?y=z?zp 又分离点d到开环零点距离r=d?z?222z2?pz 即(x?z)2?y2?r2=(d?z)2

故根轨迹的复数部分是圆,圆心为零点,半径为零点到分离点之间的距离。根轨迹图如下:

4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数,试绘制根轨迹图。 (1)G(s)?K(s?2)K(s?1) (2)G(s)?2

s(s?1)(s?3)s(0.1s?1)K(s?1)K(s?5) (4)G(s)? 2s(s?1)(s?3)(3)G(s)?(5)G(s)?K(s?4)K(s?0.2)G(s)? (6)

(s?1)2s2(s?3.6)解:(1)由开环传递函数可知,系统有1个开环零点z1??2 3个开环极点p1?0,p2??1,p3??3

根轨迹分支数为3,起点分别为(0,j0),(?1,j0),(?3,j0) 一个终点为(?2,j0) 另两个终点为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为??3,?2?,??1,0?两段。

由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线,它们在实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1

(2k?1)?(2k?1)?=,(k=0,1)

n?m2当k=0,1时,计算得?a分别为-90°,90° 则系统根轨迹如下图所示

(2)由开环传递函数可知,系统有1个开环零点z1??1 3个开环极点p1?0,p2?0,p3??10

根轨迹分支数为3,起点分别为(0,j0),(0,j0),(?10,j0) 一个终点为(?1,j0) 另两个终点为无穷远处。

在实轴上的根轨迹为??10,?1?段。

由n=3,m=1得轨迹有2条渐近线,它们在实轴上的交点坐标?a??p??zii?1j?1nmjn?m??4.5

渐近线与实轴正方向的夹角为?a?(2k?1)?(2k?1)?=,(k=0,1)

n?m2当k=0,1时,计算得?a分别为-90°,90° 确定分离点,由

1111++=解得d1??4,d2??2.5 ddd?10d?132确定根轨迹与虚轴的交点:控制系统特征方程0.1s?s?Ks?K=0将s=j? 代入上式可求得???=0

?K?0则系统根轨迹如下图所示

(3)由开环传递函数可知,系统有1个开环零点z1??5 2个开环极点p1??1,p2??3

根轨迹分支数为2,起点分别为(?1,j0),(?3,j0),终点分别为(?5,j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?5?,??3,?1?两段。

轨迹有1条渐近线,它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m?1

(2k?1)?=(2k?1)?,(k=0)则?a??

n?m111+=确定分离点,由解得d1??5?22,d2??5?22 d?1d?3d?5确定根轨迹与虚轴的交点:控制系统特征方程s?(4?K)s?3?5K=0将s=j?

2??=0????=17j代入上式可求得?均舍去 ,3?K?-?K??4?5??则系统根轨迹如下图所示

(4)由开环传递函数可知,系统有1个开环零点z1??1 2个开环极点p1?0,p2?0

根轨迹分支数为2,起点分别为(0,j0),(0,j0),终点分别为(?1,j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?1?段。

轨迹有1条渐近线,它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a?确定分离点,由

?p??zii?1j?1nmjn?m?1

(2k?1)?=(2k?1)?,(k=0)则?a??

n?m111+=解得d??2,则分离点为??2,j0? ddd?1则系统根轨迹如下图所示

(5)由开环传递函数可知,系统有1个开环零点z1??4 2个开环极点p1??1,p2??1

根轨迹分支数为2,起点分别为(?1,j0),(?1,j0),终点分别为(?4,j0)和无穷远处。 在实轴上的根轨迹为???,?4?段。

轨迹有1条渐近线,它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m?2

(2k?1)?=(2k?1)?,(k=0)则?a??

n?m111+=确定分离点,由解得d??7 d?1d?1d?4则系统根轨迹如下图所示

(6)由开环传递函数可知,系统有1个开环零点z1??0.2 3个开环极点p1?0,p2?0,p3??3.6

根轨迹分支数为3,起点分别为(0,j0),(0,j0),(?3.6,j0),终点分别为(?0.2,j0)和无穷远处。

在实轴上的根轨迹为??3.6,?0.2?段。

轨迹有2条渐近线,它与实轴上的交点坐标?a?渐近线与实轴正方向的夹角为?a??p??zii?1j?1nmjn?m??1.7

(2k?1)?(2k?1)??=,(k=0,1)则?a??

n?m221111=确定分离点,由+?解得d1??1.67,d2??0.43

ddd?3.6d?0.2则系统根轨迹如下图所示