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城市平面控制网坐标系统的选择

（一）投影长度变形 城市平面控制网坐标系统的选择决定于网中投影长度变形。平面控制网中的观测边长D归化至参考椭球面上时，其长度将缩短△D。设归化高程（该边两端点高出于椭球体面的高程）为H，地球平均曲率半径为R，则有下列近似关系式：

△DH?R (2) D椭球体上的边长S投影至高斯平面，其长度将放长△S，设该边两端点的平均横坐标为

ym,则有下列近似关系式：

2ym△S? 2S2R (3)

以上两项长度变化的相对数值的共同影响称为投影的长度变形：

2VSymH?? 2R (4) S2R《城市测量规范》规定：城市平面控制网的坐标系统的选择应满足投影长度变形不大于

2.5cm/km（即1/40000）。因此城市平面控制网要采用国家统一3°带坐标系统，必须具备下列条件：

1) 城市中心地区位于高斯正形投影统一3°带主子午线附近； 2) 城市平均高程面必须接近参考椭球面或平均海水面。 同时能满足上述条件的城市为数不多。因此，应根据城市所在地理位置及城市地面平均高程按下列次序选择坐标系统：统一3°带坐标系，抵偿坐标系，任意带坐标系。对于面积小于25km2的小城镇，长度元素归化至城市平均高程面上，可以不经过高斯投影改正，直接在平面上进行计算。

（二）统一3°带坐标系和任意带坐标系 平面控制网坐标系统的采用体现于网中边长和方向观测值的化算方面。

统一3°带坐标系统的长度归化，是把已经化算到两端点测站的平均高程面上的水平距离D，归算到参考椭球体面上。距离归化的相对改正值计算公式为：

H?h△D??m DRm (5)

式中 △D――归化改正值；

Hm――两端点测站相对于大地水准面的平均高程；

h――大地水准面相对于参考椭球面的高度；

Rm――参考椭球面在测区内的平均曲率半径，可按测区的纬度查表2。

统一3°带坐标系统的高斯投影长度改化公式为：

2?ym(△y)2?s?S?1?? 22??2Rm24Rm? (6)

式中 S――参考椭球面上的长度；

s――投影至统一3°带高斯平面的长度；

ym――边长S两端点在统一3°带高斯平面上的横坐标的平均值；

△y――边长S两端点在统一3°带高斯平面上的横坐标的增量。

在城市三、四等平面网的长度改化中，（6）式右端第三项可以略去。

统一3°带坐标系统，二、三等网的方向观测值进行高斯投影的方向改化，按下式计算：

＂ρδ(x1?x2)(2y1?y2) 1.2?26Rmδ2.1?ρ(x2?x1)(y1?2y2) 26Rm＂（7） 四等网的方向改化可按下列近似公式计算：

＂ρ（8） δδ(x1?x2)ym1.2??2.1?22Rm

上式中 δ1.2――测站点1向照准点2观测方向的方向改化值；

δ2.1――测站点2向照准点1观测方向的方向改化值；

X1、y1、x2、y2――1、2两点在统一3°带高斯平面上的坐标值；

ym――1、2两点在统一3°带高斯平面上的横坐标平均值； Rm――参考椭球面在1、2两点中点的平均曲率半径。

参考椭球体平均曲率半径 表2

纬度 （°） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Rm （km） 6356.876 6356.915 6356.980 6357.070 6357.186 6357.328 6357.495 6357.687 6357.904 6358.146 6358.412 6358.703 6359.017 6359.354 6359.714 6360.097 纬度 （°） 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Rm （km） 6362.332 6362.840 6363.366 6363.910 6364.472 6365.050 6365.645 6366.255 6366.879 6367.518 6368.170 6368.834 6369.510 6370.196 6370.892 6371.597 纬度 （°） 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 Rm （km） 6375.230 6375.971 6376.715 6377.462 6378.209 6378.957 6379.703 6380.449 6381.191 6381.930 6382.665 6383.395 6384.118 6384.834 6385.543 6386.242

17 18 19 20 6360.502 6360.929 6361.376 6361.844 37 38 39 40 6372.311 6373.032 6373.759 6374.492 57 58 59 60 6386.932 6387.612 6388.280 6388.936 任意带坐标系统的边长和方向观测值的化算和统一3°带的不同之处为：在高程归化时以城市平均高程面代替参考椭球面，在高斯投影的距离改化和方向改化时以城市中心区的某点的子午线代替统一3°带的主子午线来计算横坐标值。这样可以使城市地区的边长的高城归化和距离改化的改正值明显减小，使不超过投影长度变形的限差。

（三）抵偿坐标带 抵偿坐标系为利用长度的高程归化和高斯投影的距离改化符号相反的特点，建立抵偿地带，使投影的长度变形小于规定的1/40000。

根据（2）、（3）及（4）式，如果测区的归化高程H和控制边长的两端点的平均横坐标存在下列关系：

2ymH? 2 R2R (9)

则长度的投影变形就会得到抵消（VS/S=0），如果容许VS/S=1/40000，则存在一个抵偿地带。根据（4）式，并设R=6371km，可以算出抵偿带东西边缘的横坐标值：

(10)

式中ym和H均以公里为单位。由此算得抵偿地带的高程和相应的横坐标区间如表3。

抵偿地带的高程和相应的横坐标区间 表3

H（m） 0 50 160 300 500 1000 2000

由此可见，对于某一地区的平均高程只存在一定的抵偿地带，并且其东西宽度随地区高程的增大而愈来愈狭窄，城市地区往往不会正好在这一范围内。

用人为地改变归化高程来使与高斯投影的长度改化相抵偿，但并不改变统一3°带的投影改化方法，称为抵偿高程面的高斯正形投影统一3°带平面直角坐标系，简称抵偿坐标系。采用抵偿坐标系时，选择归化高程的修正值ΔH,使

2y0H?ΔH ?22Rm (11) Rmym?12742H?2029±ym(km) 0～45 0～52 3～64 42～76 66～92 104～122 153～166 式中 y0――城市中心地区某点的在统一3°带坐标系中的横坐标值。

设Hc为经过抵偿修正后的归化高程值，则

2y0 Hc?H?ΔH?22Rm (12)

例如某城市的中心地区的精度λ=120°35′，纬度φ=30°00′，城市平均高程H=5m，按经纬度从表2中查得Rm=6376.5km。按主子午线经度为120°的统一3°带投影，则Δλ=35′用下式计算城市中心地区横坐标的近似值

(12)式中y0以公里为单位，Δλ以分为单位。将以上数据代入，算得y0=57.9km。按公式（12）及（13）算得：

y0?1.857Δλcosφ(57.9)2Hc??1000?263m

2?6375.5

ΔH=263-5=258m

将该地区的长度元素归化到参考椭球面上空258m处的抵偿高程归化面上，然后再按

统一3°带投影到高斯平面上，则在城市中心地区（横坐标值为57.9km处）地面控制点之间的投影长度变形完全抵消（投影长度比为1）。

采用抵偿坐标系的城市地区仍有东西宽度的限制。设城市地区东西边缘与中心地区的横坐标差为Δy，投影长度变形限制为1/40000,则

2y0(y0?Δy)21?? 2240000 (15)2Rm2Rm设Rm=6371km,则上式成为：

2y0?(y0?Δy)2?2029

(16)

根据（16）式，按不同的y0可以计算得东、西边缘的横坐标值yE、yw。例如当

y0?57.9km时，算得yE?73km，yw?36km，抵偿坐标系的东西宽度为39km。

平面控制网采用抵偿坐标系的实质是将统一3°带的坐标系统中长度元素按一定的比例缩放，因此这两种坐标系统的坐标换算是比较方便的。

设S为统一3°带系统的长度元素，Sc为抵偿坐标系统中的长度元素。两种坐标系统中长度元素之比为：

ScRm?ΔH? SRm (17)

设缩放系数

则

q?ΔH

Rm (18)

Sc?1?q

S (19)

抵偿坐标系统和统一3°带坐标系的坐标换算按以下公式计算：

xc?x?q(x?x0) yc?y?q(y?y0) x?xc?q(xc?x0)

（2-2-20） y?yc?q(yc?y0)

（21） 式中 x、y――统一3°带坐标系统中的控制点坐标；

xc、yc――抵偿坐标系统中的控制点坐标；

x0、y0――城市中心区的投影长度变形完全被抵消的点的坐标（在两种坐标系中具

有同样的坐标值）。

例如某城市中心区的y0=57.9km，H=5m，不处于抵偿地带。今在国家统一3°带坐标系统的三等三角点下布设四等导线，采用抵偿坐标系。将国家点的统一3°带坐标换算为抵偿

坐标系统的坐标及其反算列于表4和5。

统一3°带坐标系化算为抵偿坐标系坐标 表4 已知数据 点号 1 2 3 4 5

X0=21824.895 Y0=57910.416 x y x-x0 y-y0 λ=120°35′ φ=30°00′ q(x-x0) Q(y-y0) xc yc 16356.268 17963.718 23988.962 61296.117 27041.917 Hm+h=5m Rm=6367.5km 缩放系数比例 16356.490 -5468.627 +0.222 53833.760 -4076.821 +0.165 17963.874 -3861.177 +0.156 63957.575 +6047.404 -0.245 23988.874 +2164.067 -0.088 61295.980 +3385.701 -0.137 27041.706 +5217.022 -0.211 55834.923 -2075.577 +0.084 22021.427 + 196.540 -0.008 48374.248 -9536.554 +0.386 (57.91)253833.595 Hc??1000?263m 2?6367.563957.820 ΔH=263-5=258m q?0.258 6367.5=0.00004052 55834.839 22021.435 48373.862