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2013年综合性大学自主选拔录取联合考试（北约）
数学试题
一、选择题（每题8分，共48分）
1、 以2和1?32为根的有理系数方程的最小次数为 ．
A．2 B．3 C．5 D．6
【解析】 C．
x?1??2??0，于是次数不超过5． 可以构造方程?x2?2?????3x?1?32???x?m??0满足要求，则 假设有3次方程?x?2?????m?2?1?32，2?1?32?m均为有理数．
??设m?p?2?32，p为有理数，则
5155471?1????1?636632222?1?2?m??2?2??p?2?2???2?2?p?2?2?2?26不可能为有理数． ???????3?因此次数不小于4．
2、 在6?6棋盘上放3个完全相同的红色的车和3个完全相同的黑色的车，若这6个车不在
同一行也不在同一列上，则不同的放法有 种．
A．720 B．518400 C．20 D．14400
【解析】 D．
视6枚棋子均相同，记落在第i行的的棋子在ai列，则排列?a1,a2,,a6?与放法对应．
33于是A66?C6?C3?14400为所求．
3、 在△ABC中，D为BC的中点，DM平分?ADB交AB于M，DN平分?ADC交AC于N，
则BM?CN与MN的大小关系是 ．
A．BM?CN?MN B．BM?CN?MN C．BM?CN?MN D．不能确定
【解析】 A．
AMBEDNC
AMADADAN，于是MN∥BC． ???BMBDCDCN设AD与MN交于点E，则E点平分MN且MN?ME?EN?2DE． BM?CN与2DE的大小关系可以转化为AB?AC与2AD的大小关系（平行线截割定理） 而利用平行四边形容易证明在△ABC中，中线AD小于
AB?AC，因此选A． 22013年综合性大学自主选拔录取联合考试数学试题（北约） 1
2??x?2y?5 4、 若?2，x?y，则x3?2x2y2?y3的值为 ．
??y?2x?5A．?10 B．?12 C．?14 D．以上答案均不对
【解析】 D．
222???x?y??2?x?y??2?x?2y?5?x?y?2?x?y??10x?y，考虑到，有，即． ???2?2?222xy??1x?y?6y?2x?5??????x?y?2?y?x?于是x、y是关于t2?2t?1?0的两根，为?1?2．
x3?2x2y2?y3??x?y??x2?xy?y2??2?xy???2??6?1??2??1???16．
22
5、 Sn表示数列?an?（n≥1）的前n项和．已知a1?1，且?n≥1，Sn?1?4an?2，则a2013等
于 ．
A．3019?22012 B．3019?22013 C．3018?22012 D．以上答案均不对
【解析】 A．
由a1?a2?4a1?2，得a2?5．
Sn?1?4an?2，于是an?2?4?an?1?an?，即an?2?2an?1?2?an?1?2an?．
∴an?1?2an?3?2n?1，从而因此
an?1an3?? 2n?12n4an312012n?2，解得，于是． a?3019?2a?3n?1?2?n?1?????2013n2n42AB?BC?CA的模等于 ．
A?B?C 6、 复数A、B、C的模都等于1，且A?B?C?0，则复数
A． B．1 C．3 D．不能确定
【解析】 B．
12?A?B?C??A?B?C
??A?B?C??A?B?C
???3?AB?AC?BA?BC?CA?CB
?AB?BC?CA??AB?BC?CA
??AB?BC?CA??AB?BC?CA
???3?AB?AC?BA?BC?CA?CB
AB?BC?CA因此复数中分子与分母的模相等．
A?B?C
二、解答题（每题18分，共72分）
7、 （文科）a1,a2,a3,是一个递增的正等差数列．k、l、m是给定的正整数．已知ak与al的几何平均大于am与an的算术平均．求证：
k?l?mn． 22013年综合性大学自主选拔录取联合考试数学试题（北约） 2
【解析】 根据题意有akal?am?ana?aa?aa?a，又akal≤kl，于是kl?mn． 2222因此ak?al?am?an． 设an?a1??n?1?d，则
ak?al?am?an
?a1??k?1?d?a1??l?1?d?a1??m?1?d?a1??n?1?d ?k?l?m?n
k?lm?n??≥mn 22因此命题得证，
8、 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你
的结论．
【解析】 至多可以找到4个，如1,3,7,9．
下面证明不能找到5个符合题意的正整数．
考虑它们模3的余数，设余数为0、1、2的分别有a、b、c个，则
1°若a、b、c均不为零，则存在三个数，它们的和为3的倍数，一定不是质数； 2°若a、b、c中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为3的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到5个符合题意的正整数．
9、 实数a1,a2,a1?a2?,a2013满足a1?a2??a2013?0，a1?2a2?a2?2a3??a2013?2a1．求证：
?a2013?0．
【解析】 令b1?a1?2a2，b2?a2?2a3，…，b2013?a2013?2a1，则
b1?b2??b2013，b1?b2??b2013?0．
,b2013或者为m或者为?m，
设b1?b2??b2013?m，则b1,b2,设其中有x个m，2013?x个?m，则b1?b2?由于2x?2013?0，因此m?0．
于是b1?b2??b2013?0，进而易得a1?a2?
?b2013?mx???m??2013?x??m?2x?2013?．
?a2013?0．
10、 对任意?，求32cos6??cos6??6cos4??15cos2?的值． 32cos6??cos6??6cos4??15cos2? 【解析】
?1?cos2??32?32?????4cos2??3cos2???6?2cos2??1??15cos2? 2???10
3
11、 （理科）设有mn个实数排成一个m行n列的阵列?aij?m?n，使得每一行上的n个数从左
到右都按递增的顺序排列，即对任意1≤i≤m，当j1?j2时有aij≤aij．下面把每列上
12的m个数都从上到下都按递增的顺序重排得到阵列aij???，即对任意的1≤j≤n，当
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