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北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册)

第一章 证明(二)

※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的

直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。

※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：a?b?c（注意区分斜边与直角边）

②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（注意着重号的意义） ．．．．．．．．．<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>

※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。

※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，

A A AO=BO=CO）

F D

O O

C C

E B B 图2 图1

※角平分线上的点到角两边的距离相等。

※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF)

第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax?bx?c?0（a、b、c为 常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 ．．．．．．

※把ax?bx?c?0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为(x?m)?0的形式>

222222?b?b2?4ac②公式法 x? （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

2a③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

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※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成(x?m)?0的形式；

⑥两边开方求其根。

2

※根与系数的关系：当b-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

2

当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

2

当b-4ac<0时，方程无实数根。

※如果一元二次方程ax?bx?c?0的两根分别为x1、x2，则有：

22x1?x2??bax1?x2?c。 a※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：

①x1?x2?(x1?x2)?2x1x2 ②

22211x1?x2?? ③x1x2x1x2(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2

④

|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2 ⑤

(|x1|?|x2|)2?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|

⑥x1?x2?(x1?x2)?3x1x2(x1?x2) ⑦其他能用x1?x2或x1x2表达的代数式。

（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x?(x1?x2)x?x1x2?0 （4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程

2333x2?(x1?x2)x?x1x2?0 的根

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况

只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。 ※处理问题的过程可以进一步概括为： 问题分析求解?方程?解答 抽象检验第三章 证明（三）

※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶．．．．．

点连成的线段叫做它的对角线。 ．．．

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※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距

离相等。这个距离称为平行线之间的距离。

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对

角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ．．※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称

图形，有两条对称轴）

※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

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