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数列通项公式的十种求法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 ?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 ?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

例3 已知数列{an}满足an?1例4

已知数列{an}满足an?1例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。

例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 ?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 ?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。

5?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an?1例9 已知数列{an}满足an?1例10 已知数列{an}满足an?1例11 已知数列{an}满足an?13(n?1)2?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。

n例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，求数列{an}的通项公式。 ，a?122(2n?1)(2n?3)9例13 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1621an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?17an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。

2an?3例14 已知数列{an}满足an?1?例15 已知数列{an}满足an?1?一、选择题：

3、等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋an=2n－1，则

a12＋a22＋a32＋…+an2等于 ( )

A．(2?1) B．(2n?1) C．4n?1 D．

－n2131n(4?1) 38.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n1，…的前n项和为（ ）

A.2n－n－1 B.2n+1－n－2 C.2n D.2n+1－n

n，则该数列的前n项的和为 ( ) 2n2?n2?n2?n2?n A. 4?n B. C. D. 2?4?nn?1n22229．已知数列?an?的通项公式为an?11. 数列｛an｝中，an?1n?n?1 ，若sn = 9 ，则n等于 （ ）

A. 9 B. 10 C. 99 D. 100 三、解答题：

17.（本小题满分10分）已知等差数列{an}中，a2=8,前10项和S10=185.

（1）求通项an；

（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.

18．（2003年天津文19）已知数列{an}满足a1?1,an?3n?1n?an?1(n?2).

3n?1. （Ⅰ）求a2,a3;（Ⅱ）证明an?220. 数列{an}的前n项和为Sn?3n?5n,数列{bn}中b1?8,bn?64bn?1.

（1）求通项an；

（2）是否存在常数a、b，使得对一切自然数n都有an?logabn?b成立.若存在，

求出a、b的值；若不存在，说明理由.

21.设数列{an}的首项a1=1前n项和sn满足关系式3tsn?(2t?3)sn?1?3t(t>0,n∈N,n≥2)． （1） 求证数列{an}是等比数列；

（2） 设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1?1，bn?f(求bn．

22.数列｛an｝满足a1=1,an=

21)，(n∈ N,n≥2)，bn?11an-1+1 (n≥２) 2⑴ 写出数列｛an｝的前５项；

⑵ 求数列｛an｝的通项公式。

答 案

3.D 8. B 9. C 11.C 二、解答题：

17.（本小题满分10分）已知等差数列{an}中，a2=8,前10项和S10=185.

（1）求通项；

（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.

考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】 （1）设{an}公差为d,有

?a1?d?8?解得a1=5,d=3∴an=a1+(n－1)d=3n+2(2)∵bn=a2n=3×2n+2 ?10?910a1?d?185?2?∴Tn=b1+b2+…+bn=(3×2+2)+(3×2+2)+…+(3×2+2)=3(2+2+…+2)+2n=6×2+2n－6.

18． （Ⅰ）∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=32+4=13 . （Ⅱ）证明：由已知an－an－1=3n1,故

－

12n12nnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?3n?1?3n?23n?1???3?1?.2所以

3n?1证得an?

220. 数列{an}的前n项和为Sn?3n?5n,数列{bn}中b1?8,bn?64bn?1.

（1）求通项an；

（2）是否存在常数a、b，使得对一切自然数n都有an?logabn?b成立.若存在，

求出a、b的值；若不存在，说明理由.

解：①an?6n?2,bn?83?2n.

②假设存在这样的a,b，使得对一切自然数n都有an?logabn?b成立,

则6n?2?logabn?b?loga83?2n?b?(3?2n)loga8?b?nloga8?2?b?3loga8.

216?1?6?2?6?loga8?2,a?8?()1??a?,,即?令?2,??2∴存在这样的数a?,b?11.

2?2?b?3loga8?b?2?3log8?b?11.a??21. 分析 由已知等式作递推变换，转化为关于an?1与an的等式，在此基础上分析an?1与

an的比值，证得（1）的结论后，进一步求f(t)，再分析数列{bn}的特征，并求其通项公

式．（1）证明：由s1?a1=1，s2?a1?a2?1?a2，3t(1?a2)?(2t?3)?1?3t，得