内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:11:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数列通项公式的十种求法
例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n,a1?2,求数列{an}的通项公式。
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1,a1?1,求数列{an}的通项公式。 ?an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。 ?3an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。
例3 已知数列{an}满足an?1例4
已知数列{an}满足an?1例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an,a1?3,求数列{an}的通项公式。
例6 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列{an}满足
a1?1,an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2),求{an}的通项公式。
例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n,a1?6,求数列?an?的通项公式。 ?3an?5?2n?4,a1?1,求数列{an}的通项公式。 ?2an?3n2?4n?5,a1?1,求数列{an}的通项公式。
5?2?3n?an,a1?7,求数列{an}的通项公式。
例8 已知数列{an}满足an?1例9 已知数列{an}满足an?1例10 已知数列{an}满足an?1例11 已知数列{an}满足an?13(n?1)2?an,a1?5,求数列{an}的通项公式。
n例12 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8,求数列{an}的通项公式。 ,a?122(2n?1)(2n?3)9例13 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an),a1?1,求数列{an}的通项公式。 1621an?24,a1?4,求数列{an}的通项公式。
4an?17an?2,a1?2,求数列{an}的通项公式。
2an?3例14 已知数列{an}满足an?1?例15 已知数列{an}满足an?1?一、选择题:
3、等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则
a12+a22+a32+…+an2等于 ( )
A.(2?1) B.(2n?1) C.4n?1 D.
-n2131n(4?1) 38.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n1,…的前n项和为( )
A.2n-n-1 B.2n+1-n-2 C.2n D.2n+1-n
n,则该数列的前n项的和为 ( ) 2n2?n2?n2?n2?n A. 4?n B. C. D. 2?4?nn?1n22229.已知数列?an?的通项公式为an?11. 数列{an}中,an?1n?n?1 ,若sn = 9 ,则n等于 ( )
A. 9 B. 10 C. 99 D. 100 三、解答题:
17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.
(1)求通项an;
(2)若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn},求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(2003年天津文19)已知数列{an}满足a1?1,an?3n?1n?an?1(n?2).
3n?1. (Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)证明an?220. 数列{an}的前n项和为Sn?3n?5n,数列{bn}中b1?8,bn?64bn?1.
(1)求通项an;
(2)是否存在常数a、b,使得对一切自然数n都有an?logabn?b成立.若存在,
求出a、b的值;若不存在,说明理由.
21.设数列{an}的首项a1=1前n项和sn满足关系式3tsn?(2t?3)sn?1?3t(t>0,n∈N,n≥2). (1) 求证数列{an}是等比数列;
(2) 设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1?1,bn?f(求bn.
22.数列{an}满足a1=1,an=
21),(n∈ N,n≥2),bn?11an-1+1 (n≥2) 2⑴ 写出数列{an}的前5项;
⑵ 求数列{an}的通项公式。
答 案
3.D 8. B 9. C 11.C 二、解答题:
17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.
(1)求通项;
(2)若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的顺序组成一个新的数列{bn},求数列{bn}的前n项和Tn.
考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】 (1)设{an}公差为d,有
?a1?d?8?解得a1=5,d=3∴an=a1+(n-1)d=3n+2(2)∵bn=a2n=3×2n+2 ?10?910a1?d?185?2?∴Tn=b1+b2+…+bn=(3×2+2)+(3×2+2)+…+(3×2+2)=3(2+2+…+2)+2n=6×2+2n-6.
18. (Ⅰ)∵a1=1 . ∴a2=3+1=4, a3=32+4=13 . (Ⅱ)证明:由已知an-an-1=3n1,故
-
12n12nnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?3n?1?3n?23n?1???3?1?.2所以
3n?1证得an?
220. 数列{an}的前n项和为Sn?3n?5n,数列{bn}中b1?8,bn?64bn?1.
(1)求通项an;
(2)是否存在常数a、b,使得对一切自然数n都有an?logabn?b成立.若存在,
求出a、b的值;若不存在,说明理由.
解:①an?6n?2,bn?83?2n.
②假设存在这样的a,b,使得对一切自然数n都有an?logabn?b成立,
则6n?2?logabn?b?loga83?2n?b?(3?2n)loga8?b?nloga8?2?b?3loga8.
216?1?6?2?6?loga8?2,a?8?()1??a?,,即?令?2,??2∴存在这样的数a?,b?11.
2?2?b?3loga8?b?2?3log8?b?11.a??21. 分析 由已知等式作递推变换,转化为关于an?1与an的等式,在此基础上分析an?1与
an的比值,证得(1)的结论后,进一步求f(t),再分析数列{bn}的特征,并求其通项公
式.(1)证明:由s1?a1=1,s2?a1?a2?1?a2,3t(1?a2)?(2t?3)?1?3t,得