内容发布更新时间 : 2024/11/13 4:09:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第1讲 变化率与导数、导数的计算

[基础题组练]

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( ) A．2(x－a)

2

2

2

2

2

B．2(x＋a)

2

2

22

C．3(x－a) D．3(x＋a)

解析：选C.f′(x)＝(x－a)＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x－a)．

1－2ln x2．(2020·安徽江南十校检测)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程

2

2

2

x为( )

A．x＋y－2＝0 C．3x＋y＋2＝0

B．2x＋y－3＝0 D．3x＋y－4＝0

1－2ln x－3＋2ln x解析：选D.因为f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝－3，又2

xxf(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.

3．(2020·安徽宣城八校联考)若曲线y＝aln x＋x(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是

2

?π，π?，则a＝( ) ?32???

A.1

24

3B． 83D． 2

2

3C. 4

解析：选B.因为y＝aln x＋x(a>0)，所以y′＝＋2x≥22a，因为曲线的切线的倾3?ππ?斜角的取值范围是?，?，所以斜率k≥3，因此3＝22a，所以a＝.故选B. 8?32?

4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )

ax

1

解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B.

5．(2020·广东佛山教学质量检测(一))若曲线y＝e在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( )

A．－1 C．2

xxB．1 D．e

xx解析：选C.y＝e的导数为y′＝e，则曲线y＝e在x＝0处的切线斜率k＝1，则曲线

y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.y＝ln x＋b的导数为y′＝，设切点x1

为(m，n)，则＝1，解得m＝1，则n＝2，即有2＝ln 1＋b，解得b＝2.故选C.

1

m6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．

解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋e， 所以f′(x)＝1＋e， 所以f′(1)＝1＋e＝1＋e. 答案：1＋e

1ln x7．(2020·江西重点中学4月联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x1

xxxa＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．

111

解析：y′＝－2＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，

xaxa1??2?2?所以?－1＋?·?－?＝－1，解得a＝. a??3?5?

2答案： 5

8．若过点A(a，0)作曲线C：y＝xe的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是

x 2

________．

解析：设切点坐标为(x0，x0e0)，y′＝(x＋1)e，y′|x＝x0＝(x0＋1)e0，所以切线方程为y－x0e0＝(x0＋1)e0 (x－x0)，将点A(a，0)代入可得－x0e0＝(x0＋1)e0 (a－x0)，化简，得x0－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x0－ax0－a＝0有两个不同的解，则有Δ＝a＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．

答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)

9．已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)．

??f（0）＝b＝0，

(1)由题意得?

?f′（0）＝－a（a＋2）＝－3，?

2

3

2

2

2

2

xxxxxxx解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)＋12a(a＋2)>0， 即4a＋4a＋1>0， 1

所以a≠－. 2

1??1??所以a的取值范围为?－∞，－?∪?－，＋∞?. 2??2??10．已知函数f(x)＝x＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； 1

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

4解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1.

所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3x0＋1， 所以直线l的方程为

3

2

3

2

3

2

2

2