内容发布更新时间 : 2024/5/4 10:51:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1

．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OH＝3．所以A(?1,3)．

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设y＝ax(x－2)，代入点A(?1,3)，可得

3． 图2 333223所以抛物线的表达式为y?x(x?2)?x?x．

333322333（2）由y?， x?x?(x?1)2?333333得抛物线的顶点M的坐标为(1,?． )．所以tan?BOM?33a?所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由A(?1,3)、B(2,0)、M(1,?3)， 3更多精品文档

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得tan?ABO?323，AB?23，OM?． 33OA所以∠ABO＝30°，?3．

OM因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况：

BAOABA23??3时，BC???2．此时C(4,0)． BCOM33BCOA②如图4，当??3时，BC?3BA?3?23?6．此时C(8,0)．

BAOM①如图3，当

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．

图5

例2 2012年苏州市中考第29题

121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线y?更多精品文档

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图1

．

满分解答

b)． 4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．

2428161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．

555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3 11b1（3）由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1．

4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOAb所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．

4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA

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