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基于线性规划的企业生产计划的制定
管理科学与工程 4班 徐书环1 20100409
摘要：线性规划作为运筹学的一个重要分支,它力求使所选用的决策达到最佳状态,因此受到人们的普遍关注。在企业生产过程中，生产计划安排直接影响到企业的经济效益，而生产计划本质就是在目标一定时，对于人力、时间和物质资源的优化配置问题。本文将通过案例阐述建立线性规划模型的过程，并用lindo规划软件进行求解。
关键词：线性规划；生产计划；lindo
生产型企业如何进行计划安排，如何使用现有资源，要考虑到企业的生产能力，资源的拥有量以及拟生产产品的单件利润等因素。本文试图通过线性规划具体模型的建立，阐述线性规划是解决企业生产计划问题的有效方法。
一、线性规划数学模型描述与建立[1]
线性规划所研究的问题主要有两类：一类是已给定一定数量的人力和物力资源，如何用这些资源完成量的任务；另一类是已给定一项任务，如何统筹安排能以最小量的资源去完成这项任务。即有关“多、快、省”的最优化问题。线性规划模型建立需具备以下条件：一是最优目标。问题所要达到的目标能用线性函数来描述，且能够使用极值（最大或最小）来表示。二是约束条件。达到目标的条件是有一定限制的，这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式来表示。三是选择条件。有多种方案可以供选择，以便从中找出最优方案。线性规划的数学模型的一般形式是：
max(或min)z?c1x1?c2x2???cnxn (1)
?a11x1?a12x2???a1nxn?(?,?)b1?a21x1?a22x2???a2nxn?(?,?)b2?? (2) s.t?????ax?ax???ax?(?,?)bm22mnnm?m11??x1,x2,?,xn?0(?0，自由)其中式（1）称为目标函数，式（2）成为约束条件。由以上对线性规划的介绍，可以知道生产计划问题分析完全符合线性规划建模的条件，可以运用线性规
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徐书环 河北科技大学研究生学院10级4班管理科学与工程专业学生 石家庄
划来分析生产计划方案优化问题。
（一）企业生产计划目标函数的选择
企业生产的根本目的就是使企业以最优成本获得最大的利润，所以建立生产计划的数学模型可以以成本最小化或者利润最大化为目标函数。这里我们选择李瑞最大化为目标函数，保证企业在获得最大化利润的前提下投入最优的生产成本。目标函数建立如下：
maxZ?CX （3）其中，C?(c1,c2,?,cn)T为单位产品利润向量，cj?pj?cj为预测的产品价格扣除产品成本之后的单位产品利润；X?(x1,x2,?,xn)T
（二）生产计划的约束条件构建
企业的人工费用、原材料、生产能力、设备使用、市场需求状况等诸多制约因素与生产计划的成本控制分析密切相关，这些因素称为生产计划中目标函数的约束条件。约束条件对生产计划分析的影响较大，在不同约束条件下，决策分析的结论则会有明显的差异。
1．人工费用约束。企业生产产品都需要一定的人工费用，建立约束不等式如下：
a11x1?a12x2??a1nxn?A' （4）
其中，a11,a12,a13,?,a1n 分别为生产每种产品的人工费用，A'为企业可分配的人工费用的总额。
2.原材料约束。无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料，在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类，增添相应约束条件即可，建立约束不等式：
DX?D' （5） ?d11?d其中，D??21????dr1d12d22?dr2?d1n??d2n?? 为产品的原材料消耗系数矩阵，dij为生产?????drn?'',?,dm)为各原材料数量单位第j种产品要消耗第i种原材料的数量。D'?(d1',d2
向量，di'为第i种原材料的数量，r为原材料种类的总数，n为产品种类总数。
3.生产能力约束。此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时，可建立如下约束不等式：
TX?T' （6） ?t11t12?t1n??t?t?t21222n?为产品工序的工时直接消耗系数矩阵，tij 为其中，T??????????tt?trn??r1r2'',?,tm)为计划期各生产单位第j种产品要消耗第i道工序的工时数量，T'?(t1',t2工序作业时间向量，ti'为第i道工序在一年内可开工作业的时间，r为工序总数。
4.市场需求约束。假设企业生产的产品市场都有需求，建立约束不等式即
X?S （7） 其中：S?(s1,s2,?,sn)T为产品市场需求的最大容量向量。即第j种产品市场需求有限，最大需求为sj。
5.非负约束。因为生产实际中生产的产品数不可能为负，至少就是不生产，所以建立约束X?0。
以上各约束条件是企业在生产过程中经常会遇到的情况，除此之外，对不同类型的企业，还可能有一些其它类型的约束要求，这还有待于在实际建模过程中具体问题具体分析，建立一些特殊的约束方程，例如：产率约束、质量约束等。
（三）模型求解及影子价格[2]
通过目标函数及约束条件的构建，企业生产计划中成本控制通过目标函数及约束条件的构建，企业生产计划的线性规划模型基本建立。目前线性规划模型的求解比较成熟，常用的方法有单纯形法，对偶单纯形法等。并且随着计算机技术的发展，关于线性规划求解的程序软件也越来越多，如Excel， Matlab工具，Lindo软件等，极大简化了求解问题。
一般来说对线性规划的原始问题的求解是确定资源的最优分配方案，以最优的成本为企业创造最大的利润。而对偶问题的求解，则是确定对资源价格的恰当估计，即影子价格。影子价格直接涉及到资源的最有效利用。