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2008年高考数学重要知识交汇点预测2009届高考——平面向量、三角函数、解析几何
摘 要：通过对2008年高考试题的大量研究，总结高中数学平面向量、三角函数、解析几何三大基础知识综合在一道试题中的各种题型及解题方法，为我们复习备考2009，提供有力的保障和详细的资料，准确把握高考命题的主线和热点。 关键词：平面向量；三角函数；解析几何；知识交汇；迁移 高 考 资 源 网w w w.k s 5 u.c o m 回顾历年的高考数学试题，从中我们自然可以提炼出命题的一些规律性东西，经过多年高考命题的改革，现行高考突出了能力的的考查，因此，知识的跨章节综合与交汇，解题思想方法的相互渗透和迁移，已经形成了高考数学的一条科学的命题曲线。 1.经典例题分析
1.1题型一：解析几何与平面向量的交汇.
例1．（全国Ⅱ理科21文科22）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线y?kx(k?0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E,F两点. (Ⅰ)若 ED?6DF,求k的值； (Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
【解析】本小题主要考查平面向量，椭圆的性质、标准方程及直线与椭圆位置关 系等基础知识，考查综合运用向量工具解决与解析几何知识有关的代数问题的能力，即几何问题代数化；抽象问题直观化。这也是近几年高考数学中的一个热点问题。
x2?y2?1（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为4，
直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)． 如图，设
D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2，
y B O E F D A x 22x，x(1?4k)x?4， 12且满足方程
x2??x1?故
21?4k． ①
21510x0?(6x2?x1)?x2?x?x1?6(x2?x0)，得7771?4k2； 由ED?6DF知0由D在AB上知
x0?2kx0?2，得
x0?21?2k．
210?1?2k71?4k2， 所以
化简得24k?25k?6?0，
2k?解得
23k?3或8．
（Ⅱ）（略）
例2．（江西文、理科7）已知F1,F2是椭圆的两个焦点．满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A．(0，1)
1B．(0，2) 2C．(0，2) 2D．[2，1]
【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c，?MF1·MF2＝0，
?M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部，?该圆内
c212e???0?e?.22222c?b,c?b?a?c2 2 a含于椭圆，即，?2故选C.
例3．（辽宁理科20）在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,?3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y?kx?1与C交于A,B两点. （Ⅰ）写出C的方程; （Ⅱ）若OA?OB,求k的值;
（Ⅲ）若点A在第一象限,证明:当k?0时,恒有
OA?OB.
【解析】本题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，
考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
（Ⅰ）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0,?3),(0,3) 为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴
2b?22?(3)2?1,
y2x??14 故曲线C的方程为．
（Ⅱ）设
A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足
?2y2?x??1,?4?y?kx?1. ?
22(k?4)x?2kx?3?0， 消去y并整理得
故
x1?x2??2k3,x?x??12k2?4k2?4
若OA?OB,即
x1x2?y1y2?0.
2yy?kx1x2?k(x1?x2)?1 12 而
33k22k2x1x2?y1y2??2?2?2?1?0k?4k?4k?4 于是
1k??.2?4k?1?0,2 化简得所以
（Ⅲ）22OA?OB?x12?y12?(x2?y2)22
2222(x?x)?4(1?x?1?x) 1212 ＝
＝
?3(x1?x2)(x1?x2)
6k(x1?x2).2k?4 ＝
因为A在第一象限，故x1?0.由
22x1x2?3k2?4知x2?0,
从而
x1?x2?0.又k?0, 故OA?OB?0,
OA?OB.
即在题设条件下，恒有
x2y2C:2?2?1(a?b?0)ab例4．（安徽理科22）设椭圆过点M(2,1)，且左焦点为
F1(?2,0).
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足
AP?QB?AQ?PB，证明：点Q总在某定直线上．
【解析】本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、有向线段的定比分点公式等基础知识、
基本方法和分析问题、解决问题的能力。