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2008年高考数学重要知识交汇点预测2009届高考——平面向量、三角函数、解析几何
摘 要:通过对2008年高考试题的大量研究,总结高中数学平面向量、三角函数、解析几何三大基础知识综合在一道试题中的各种题型及解题方法,为我们复习备考2009,提供有力的保障和详细的资料,准确把握高考命题的主线和热点。 关键词:平面向量;三角函数;解析几何;知识交汇;迁移 高 考 资 源 网w w w.k s 5 u.c o m 回顾历年的高考数学试题,从中我们自然可以提炼出命题的一些规律性东西,经过多年高考命题的改革,现行高考突出了能力的的考查,因此,知识的跨章节综合与交汇,解题思想方法的相互渗透和迁移,已经形成了高考数学的一条科学的命题曲线。 1.经典例题分析
1.1题型一:解析几何与平面向量的交汇.
例1.(全国Ⅱ理科21文科22)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y?kx(k?0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点. (Ⅰ)若 ED?6DF,求k的值; (Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
【解析】本小题主要考查平面向量,椭圆的性质、标准方程及直线与椭圆位置关 系等基础知识,考查综合运用向量工具解决与解析几何知识有关的代数问题的能力,即几何问题代数化;抽象问题直观化。这也是近几年高考数学中的一个热点问题。
x2?y2?1(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为4,
直线AB,EF的方程分别为x?2y?2,y?kx(k?0). 如图,设
D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1?x2,
y B O E F D A x 22x,x(1?4k)x?4, 12且满足方程
x2??x1?故
21?4k. ①
21510x0?(6x2?x1)?x2?x?x1?6(x2?x0),得7771?4k2; 由ED?6DF知0由D在AB上知
x0?2kx0?2,得
x0?21?2k.
210?1?2k71?4k2, 所以
化简得24k?25k?6?0,
2k?解得
23k?3或8.
(Ⅱ)(略)
例2.(江西文、理科7)已知F1,F2是椭圆的两个焦点.满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( C )
A.(0,1)
1B.(0,2) 2C.(0,2) 2D.[2,1]
【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c,?MF1·MF2=0,
?M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,?该圆内
c212e???0?e?.22222c?b,c?b?a?c2 2 a含于椭圆,即,?2故选C.
例3.(辽宁理科20)在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,?3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y?kx?1与C交于A,B两点. (Ⅰ)写出C的方程; (Ⅱ)若OA?OB,求k的值;
(Ⅲ)若点A在第一象限,证明:当k?0时,恒有
OA?OB.
【解析】本题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,
考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.
(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,?3),(0,3) 为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴
2b?22?(3)2?1,
y2x??14 故曲线C的方程为.
(Ⅱ)设
A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足
?2y2?x??1,?4?y?kx?1. ?
22(k?4)x?2kx?3?0, 消去y并整理得
故
x1?x2??2k3,x?x??12k2?4k2?4
若OA?OB,即
x1x2?y1y2?0.
2yy?kx1x2?k(x1?x2)?1 12 而
33k22k2x1x2?y1y2??2?2?2?1?0k?4k?4k?4 于是
1k??.2?4k?1?0,2 化简得所以
(Ⅲ)22OA?OB?x12?y12?(x2?y2)22
2222(x?x)?4(1?x?1?x) 1212 =
=
?3(x1?x2)(x1?x2)
6k(x1?x2).2k?4 =
因为A在第一象限,故x1?0.由
22x1x2?3k2?4知x2?0,
从而
x1?x2?0.又k?0, 故OA?OB?0,
OA?OB.
即在题设条件下,恒有
x2y2C:2?2?1(a?b?0)ab例4.(安徽理科22)设椭圆过点M(2,1),且左焦点为
F1(?2,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足
AP?QB?AQ?PB,证明:点Q总在某定直线上.
【解析】本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、有向线段的定比分点公式等基础知识、
基本方法和分析问题、解决问题的能力。