内容发布更新时间 : 2024/5/1 10:59:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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函数、导数与不等式综合题

1 已知 f(x)?ln?ax?b??x，其中a?0,b?0.（1）若f(x)在?0,???上是减函数，求

?2?2a与b的关系；（2）求f(x)在?0,???上的最大值；（3）解不等式ln?1?x???x??x?x??≤ln2–1. 解：.（1）f?(x)?aa?b?ax. ?1?ax?bax?b ………………1分

x≥0,a?0,b?0,

?f?(x)≤0时，a?b≤0，即a≤b.

当a≤b时，a?0,b?0,x≥0.?ax?b?0,a?b?ax≤0, 即f?(x)≤0.

?f(x)在[0,??)上是减函数时，b≥a. ………………………4分 （2）由（1）知，（i）当b≥a时f(x)为减函数，f(x)的最大值为f(0)?lnb；……5分

当b?a时，

f?(x)?a?b?ax，

ax?b?当0≤x? 即在[0,∴x?a?ba?b时，f?(x)?0，当x?时f?(x)?0， aaa?ba?b)上f(x)是增函数，在[,??)上f(x)是减函数，………………7分 aaa?b时f(x)取最大值， aa?ba?b， )?lna?aa最大值为fmax(x)?f(?lnb(b≥a),?即fmax(x)?? ……………………8分 a?blna?(b?a).?a? （3）在（1）中取a?b?1，即f(x)?ln(x?1)?x,

由（1）知f(x)在[0,??)上是减函数.

……………………10分

?22?2∵ln?1?x???x?≤ln2–1，即f(1?)≤f(1) ………………12分

?xx?x??

∴1?2≥1解得 –1≤x <0或x≥2. x 故所求不等式的解集为[?1,0)?[2,??) ……………………………14分

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2．已知函数f?x??1?x?lnx． ax（1）若函数f?x?在?1,???上为增函数，求正实数a的取值范围；

1111????． 234nax?1ax?1解析：（1）由已知：f?(x)?，依题意得：a?0?0对x??1,???恒成立， ??ax2ax2（2）当a?1时，求证对大于1的任意正整数n，lnn? ∴ax?1?0对x??1,???恒成立，即a?1?1?对x??1,???恒成立，a???，即x?x?maxa?1．.

（２）当a?1时，由（１）知，函数f?x??当n?1时令x?1?x?lnx在?1,???上为增函数． xn，则x?1，故f?x??f?1??0， n?1n1??n?n?1?lnn??1?lnn?0，即lnn?1． 即f???nn?1nn?1nn?1?n?1?n?12131n1故ln?，ln?，…………，ln?，

1223n?1n23n111相加得ln?ln??ln????，

12n?123n而ln23?ln?12?lnn?23?ln???n?1?12?n???lnn， n?1?即lnn?111???234?1． n3．（2007安徽）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有f?(x)?1?2lnx2a?，x?0， xx故F(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?0， 于是F?(x)?1?列表如下：

2x?2?，x?0， xx学习必备 欢迎下载

x (0，2) 2 0 极小值F(2) (2，?∞) ? F?(x) F(x) ? 故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，?∞)内是增函数，所以，在x?2处取得极小值F(2)?2?2ln2?2a．

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0． 于是由上表知，对一切x?(0，?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，?∞)内单调增加． 所以当x?1时，f(x)?f(1)?0，即x?1?ln2x?2alnx?0． 故当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．

4．（2007山东理 22）设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0．（Ⅰ）当b?21时，判断2函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，

不等式ln??1?11?1??2?3都成立． ?n?nnb2x3?2x?b?，??)，f?(x)?2x?解：（Ⅰ）由题意知，f(x)的定义域为(?1 x?1x?1设g(x)?2x?2x?b，其图象的对称轴为x??21?(?1，??)， 21?1??g(x)max?g??????b．

2?2?当b?11时，g(x)max???b?0， 222，??)上恒成立， 即g(x)?2x?3x?b?0在(?1?当x?(?1，??)时，f?(x)?0， ?当b?1，??)上单调递增． 时，函数f(x)在定义域(?12