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同角三角函数基本关系式和诱导公式

【考纲要求】

1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：

sin2x?cos2x?1,tanx?求其他三角函数值的方法.

sinx,tanxcotx?1，掌握已知一个 角的三角函数值cosx2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】

同角三角函数基本关系式和诱导公 式 同角三角函数基本关系式 诱导公式

【考点梳理】

考点一、同角三角函数基本关系式

1．平方关系：sin??cos??1;2．商数关系：tan??22sec2??1?tan2?;cot??cos?. sin?csc2??1?cot2?.

sin?;cos?3．倒数关系：tan??cot??1;sin?csc??1;要点诠释：

cos??sec??1

①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.

②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1?sin??cos?，

221?sec2??tan2??tan45???，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦

法”、消去法及方程思想的运用. 考点二、诱导公式

sin(???)??sin?,sin(??)??sin?,sin(???)?sin?,cos(???)??cos?, cos(??)?cos?, cos(???)??cos?, tan(???)?tan?.tan(??)??tan?.tan(???)??tan?.sin(??)?cos?,2cos(??)?sin?.2sin(??

sin(??)?cos?,2cos(??)??sin?.2??

3?3???)??cos?,sin(??)??cos?,22

3?3?cos(??)??sin?.cos(??)?sin?.22要点诠释：

（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇变”是指所涉及的轴上角为

?2的奇数倍时（包括4组：

?2??，

3???）函数名2称变为原来函数的余函数；其主要功能在于改变函数名称.

“偶不变”是指所涉及的轴上角为

?2的偶数倍时（包括5组：

2k???,??,???,2???）, 函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数

值，化简及某些证明问题.

（2）诱导公式的引申：

sin(k???)?(?1)ksin?,cos(k???)?(?1)kcos?, tan(k???)?tan?.(k?Z)【典型例题】

类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式

4?，??(,?)，求cos?、tan?的值． 5234【答案】cos???，tan???.

53432【解析】方法一：∵sin??，∴cos???1?sin???，

55例1. 已知sin?? ∵??(?2,?)，

3sin?4??. ，tan??5cos?3∴cos???方法二：∵??(?2,?)，∴cos??0，tan??0

34，tan???. 532由图形可以知道：cos???2【总结升华】①利用公式：sin??cos??1求解时，要注意角的范围，从而确定三

角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.

举一反三：

【变式1】已知cos??1?，??(?,0)，求sin?、tan?. 42【答案】sin???15；tan???15． 41152，∴sin???1?cos???， 44【解析】∵cos?? ∵??(??2,0)，

sin?15??15. ，tan??cos?43?)，tan??2，求cos?. 2∴sin???【变式2】已知??(?,【答案】

4. 3类型二、三角函数式的求值、化简与证明 例

2.

已

知

s???i?1n310(，求)lc??o?s(?3?) ?3)c??o?s??c(??o??s?[sc?211【解析】由题有?sin???lg310??，?sin??，

33原式??ion?sc((os))?cos?cos??

cos?[?cos??1]cos?(?cos?)?cos??1122????18

1?cos?1?cos?1?cos2?sin2?【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）应用诱导公式的重点是“函数名称”与“符号”的正确判断，常用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”.

举一反三： 【变式1】若cos(??3?3sin(???)cos(2???)tan(2???))?，求f(?)?.

3?25tan(????)cos(???)2【答案】?4 5