内容发布更新时间 : 2024/5/29 23:45:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高压锅销售量模型

背景和问题 高压锅是当今家庭不可或缺的用具之一，近十年来高压锅的使用得到了极大的普及因此全国各地区的高压锅销售量与年俱增，据资料显示高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶段高压锅的销售量呈指数增长，随着国民经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出现一个最大值。为更好的了解高压锅销售量的增长趋势，制定相应的销售计划，可以对未来的高压锅市场起到一定的调节作用，因此对高压锅的销售量增长趋势进行分析是必要的。

表1中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台），为给出此两模型的拟合结果，请参考如下问题：

（1）Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型吗。如果给定L?3000，是否是一个可线性化模型，使用线性化模型给出参数a和k的估计值。

（2）利用（1）所得的a和k的估计值和L?3000作为Logistic模型的拟合初值，对Logistic模型作非线性回归。

（3）取初值L(0)?3000,b(0)?30,k(0)?0.4，拟合Gompertz模型。并与Logistic模型的结果进行比较。

表1 某地区高压锅销售量 y t t 年份 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

分析与假设 记高压锅的销售量为y，与高压锅销售量相关的时间为t，由市场经济的规律可知，高压锅的销售量增长趋势与种群的增长过程相似，即在开始阶

段高压锅的销售量呈指数趋势增长，随着国民经济发展以及国民需求的改变，高压锅的销售量受到社会各方面因素的影响，销售量不再呈指数增长，而趋向一个上限，即销售量会出现一个最大值记为L。因此高压锅的销售量的增长趋势可以用Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型来拟合。 Logistic增长曲线模型：

L yt? （1）

1?ae?kt

1

y 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71 0 1 2 3 4 5 6 43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1988 1989 1990 1991 1992 1993 7 8 9 10 11 12 Gompertz增长曲线模型：

yt?Le?be （2） 1.1 Logistic线性化模型

Logistic增长曲线模型是计量经济学中的常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势，因受到社会各方面的影响 高压锅的销售量增长呈现Logistic增长曲线的趋势，下对Logistic增长曲线模型进行讨论。

Logistic增长曲线模型为：

L。 yt??kt1?aeLLogistic增长曲线模型是非线性的，对yt?进行数学变换，两边取倒数： -kt1?ae11a-kt??e （3） ytLL?kt对（1）式两边取e的对数可以得到：

lnyt?lnL2?lna?kt （4）

为使等式等号左右两边的量纲一致，对（2）式进行化简后可以到：

L2lnyt?ln?kt 4a?10令y=lnyt，那么可以得到：

L2y=ln?kt （5） 4a?10由（3）式可以明显看到y是关于L和t的函数，由线性的定义显然可知函数（3）是非线性的，因此Logistic增长曲线模型不是一个可线性化模型。但当给定L?3000，（3）式可以转变为：

30002 y=ln?kt （6） 4a?1030002那么关于L的项就转变成为常数项，即模型可以线性化，其中令A?ln,

a?104那么（4）式可以写成：

y?A?kt （7）

则当L给定时，Logistic增长曲线模型是一个可线性化模型。

用matlab软件作出y与对应年份编号t的散点图（源程序见附录程序1），如图1所示：

2

图1 销售量对数与对应时间编号散点图

可以发现销售量对数y在时间t较小时有较好的线性关系而，在t 较大时则出现较大的起落。

如果单从线性回归模型的角度出发计算，通过matlab软件利用最小二乘拟合可以很容易得到线性化模型（7）的参数A和k的估计值，再根据A与a的关

30002系A?ln，算出a的估计值。结果如表2所示(源程序见附录程序（2）)

a?104参数 A k 表2线性化模型（7）参数估计结果 参数估计值 参数置信区间 4.5758 [4.1329 5.0187] 0.3205 [0.2578 0.3831] R2?0.9202 F?126.8058 p?0.0001 s2?0.1474 由表可得A?4.5758和 k= 0.3205，那么可以求得a?9.2682。 所以线性化后的回归方程为：

y?4.5758?0.3205t

1.2 Logistic非线性模型

由图1可以看到销售量对数与时间的线性拟合程度并不高，为解决线性化模型中拟合欠佳的问题，考虑非线性模型（1）.

以问题一解得的a?92682和k= 0.3205以及L?3000为拟合初值，作Logistic模型的非线性回归。运用matlab软件进行非线性回归拟合，可以得到回归参数a和k的估计值，结果如表二所示（源程序见附录程序（3））

表2 非线性模型（1）参数估计结果 参数 参数估计值 33．9114 0.4542 3

置信区间 [26.4299 41.928] [0.4263 0.4820] a k