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2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)

1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F(c,0)（c?0）的准线l与x

轴相交于点A，OF?2FA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；

uuuruuur（2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；

x2y21．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为2??1(a?2)。

a2?a2?c2?2,? 由已知得?解得a?6,c?2 a2?c?2(?c).c?x2y26所以椭圆的方程为?。 ?1，离心率e?362（2）解：由（1）可得A（3，0）。 ?x2y2?1,??设直线PQ的方程为y?k(x?3)。由方程组?6 2?y?k(x?3)?66。 ?k?3318k227k2?6设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2?2， ① x1x2?。 ②

3k?13k2?1得(3k2?1)x2?18k2x?27k2?6?0，依题意??12(2?3k2)?0，得?由直线PQ的方程得y1?k(x1?3),y2?k(x2?3)。于是

y1y2?k2(x1?3)(x2?3)?k2[x1x2?3(x1?x2)?9]。 ③ uuuruuur∵OP?OQ?0，∴x1x2?y1y2?0。 ④

由①②③④得5k2?1，从而k??566?(?,)。 533所以直线PQ的方程为x?5y?3?0或x?5y?3?0

2．已知函数f(x)对任意实数x都有f(x?1)?f(x)?1，且当x?[0,2]时，

'.

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f(x)?|x?1|。

（1） x?[2k,2k?2](k?Z)时，求f(x)的表达式。 （2） 证明f(x)是偶函数。 （3） 试问方程f(x)?log41?0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若x没有实数根，请说明理由。

2．①f(x)=x?2k?1 (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x?(y?3)?1。

（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程； （2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值； （3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形10PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。 8 y6

4C

2

F

x-15-10-55OX

-2

2

3．①x=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN=7 -42210-6x22-84．以椭圆2?y＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形， a试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

4．解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）

设BC∶y＝kx＋1（k＞0）

则AB∶y＝－

-101x＋1 k

把BC方程代入椭圆， 是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0

'.

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2a2k2a22∴|BC|＝1?k，同理|AB|＝1?k 22221?akk?a2由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0

（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0 ∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0

当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a＜3

由Δ＝0，得a＝3，此时，k＝1 故，由Δ≤0，即1＜a≤3时有一解 由Δ＞0即a＞3时有三解

5．已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.

（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.

5． 解：依题意，知a、b≠0

∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0 ∴a＞0且c＜0

（Ⅰ）令f（x）＝g（x）， 得ax2＋2bx＋c＝0.（*） Δ＝4（b2－ac）

∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0 ∴f（x）、g（x）相交于相异两点 （Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标 则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知

|A1B1

|2＝

4b2?4ac4(a?c)2?4ac?

a2a2?422(a?c?ac) a2c??c?4?()2??1?(**)

a??a'.