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刚体的转动惯量的讨论方法
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刚体的转动惯量的讨论方法
邵亮（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）
指导教师：陈力
摘要：刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，应用于刚体各种运动的动力学计算中。一般研究均匀刚体和不规则刚体的转动惯量。本文将从刚体的转动惯量定义、常见均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法以及对刚体的转动惯量错误计算的分析。从而使人们在学习刚体的转动惯量
时能开阔思维，学会寻求创新途径去巧解各类刚体的转动惯量。
关键词：刚体的转动惯量，均匀刚体，不规则刚体，错误计算的分析
引言
转动惯量是刚体定轴转动中的一个重要概念,在表征刚体转动的定理、定中都离不开此概念。体是指大小和形状保持不变的物体，而转动惯量则是刚体转动时惯量大小的一个量度，是表征刚体特性的一个物理量。刚体转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量分布及转轴位置有关系。测量刚体的转动惯量对许多研究、设计工作都具有重要意义。
一．刚体的转动惯量定义
刚体的转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。
描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：
刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。
二．转动惯量概念的导出及其物理意义
我们首先看看刚体绕一固定轴转动的特点,如果把刚体看成是质点的集合体,当刚体以角速度w匀速转动时,则刚体上的每一个质点在做绕定轴为中心的、不同半径的园周运动,各质点具有相同的角速度w。因此我们可以用诸质点的园周运动来代替刚体的转动,这个特点为我们研究刚体的转动提供了方便条件。
一个质点(或物体)的平动动能为Ek=?mv2 ,如果有一刚体以角速度w绕定轴转动时,欲求刚体的转动动能,该如何计算?根据刚体转动的特点,可先在刚体上取任意一个质点,如图(一)所示,其质量为△m,该
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质点到转轴的距离为r1 ,转动时相应的线速度v1=wr1，它的转动动能为：
令数学表达式为:
,该式叫转动惯量定义式,它表明转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质
点到转轴的距离的平方的乘积之总和,而与质点的速度无关,把I代入式(l) 中就得到刚体的转动动能的
转动惯量的单位是:千克·米2,符号为kg·m2,量纲为ML2。
转动惯量的物理意义,可从转动动能与平动动能的数学表达式相比较中看出,转动惯量I相当于质量m,诸如此类的对应关系还有,如:动量mv对应于动量矩Iw,动量守恒定律∑mv=恒量,对应于动量矩守恒定律万∑Iw=恒量,从对应关系的比较看,在数学表达式中的位置,表明I与m具有相同的物理意义,所以我们说转动惯量是表征物体转动中惯性大小的量度。两者的物理意义虽有相同之处,但也有不同的地方,质量m 是不变的恒量,但转动惯量I除与质量有关外,还要由转轴的位置,物体形状及质量分布情况而确定。
三．常用均匀刚体
（一）常用均匀刚体的转动惯量的求法讨论
1.利用如图 1 所示空心圆柱体对 z 轴的转动惯量的表达式进行计算 已知空心圆柱体(如图 1）的转动惯量为 I = m( R12+R22）/2，则有：
1) 当 R1= R2时, 得到薄壁圆筒( 见图 2) 的转动惯量 I = mR2. 2) 当 R1= 0时, 得到实心圆柱体( 见图 3) 的转动惯量 I= mR2/2.
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3) 因为上述空心圆柱体、薄壁圆筒和实心圆柱体对 z 轴的转动惯量和厚度 L 无关, 所以对应有:
①环形圆盘(见图4)的转动惯量 I= m( R12+R22）/2， ②圆环( 见图 5) 的转动惯量 I= mR2.
③圆盘( 见图 6) 的转动惯量 I= mR2/2.
利用上述实心圆柱体的 I =mR2/2.又可得到实心球(见图7)的转动惯量.将实心球在与转动轴(z 轴)垂直的方向上切成薄片, 薄片半径为r,厚度为dl,质量为dm. 根据几何关系, 即：
r2= R2- ( R- 1)2= 2Rl- l2，
利用上面实心球的I=2mR2/5,还可得到空心球(见图 8)的转动惯量。设空心球内径为
R1,外径为R2，同密度的实心球, 若以R1为半径,则质量为m1;若以R2为半径，则质量为m2。由