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青 岛 科 技 大 学 二O一O年硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 注意事项：1．本试卷共5 道大题（共计 7个小题），满分150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一．（30分）试证：设向量组①:?1,?2，?,?r线性无关，并且可由向量组②： ?1,?2,?,?s线性表出，则 1).r?s； 2).并且可适当地排列向量组②中向量的次序，使得①替换②中前r个向量后得到的向量组③:?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s与向量组②等价。 二．（30分） 1. 设A,B,C,D都是n阶方阵，且A?0，AC?CA,试证ACBD?AD?CB。 2. 试证如果两个r阶矩阵A与C的行向量组分别构成同一个齐次线性方程组的基础解系，则必定存在一个r阶满秩阵B,使得A?BC。 三．（30分） 1. 设A是n阶方阵(n?3),证明：?A*?=A*n?2A。 2. 设A是一个n?n矩阵，A2?A,证明A相似于一个对角矩阵 ?1???1???????1?? ??0??????0???p四．（30分）试证：如果已知既约分数是整系数多项式f(x)的根，则q?p|f(1)，qq?p　|f(?1)，且对任何的整数m有mq?p|f(m)。 五．（30分）设A是n级实对称矩阵，且A2?E，证明：存在正交矩阵T使得 0??Er?1?TAT???0?。 ?En?r?? 第 1 页（共 1 页）