内容发布更新时间 : 2024/12/25 15:03:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

知识框架

??数列的分类?数列??的概念?数列的通项公式?函数角度理解?数列的递推关系??????等差数列的定义an?an?1?d(n?2)???等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?????等差数列?nn(n?1)??等差数列的求和公式S?(a?a)?na?d?n1n1??22????等差数列的性质an?am?ap?aq(m?n?p?q)?????两个基?an?等比数列的定义?q(n?2)???本数列an?1???n?1???等比数列的通项公式an?a1q????a1?anqa1(1?qn)??等比数列?数列??(q?1)??等比数列的求和公式Sn??1?q1?q?????na(q?1)??1?????等比数列的性质aa?aa(m?n?p?q)nmpq?????公式法??分组求和????错位相减求和??数列?裂项求和 ?求和??倒序相加求和????累加累积??归纳猜想证明????分期付款?数列的应用???其他?掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握

了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数） 例1、 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例1、解 ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1 例2、已知{an}满足an?1?

1

1an，而a1?2，求an=？ 2

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知{an}中a1?11，an?1?an?2，求an. 24n?1解： 由已知可知an?1?an?1111?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

114n?3an?a1?(1?)?

22n?14n?2★ 说明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，

（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例4、{an}中，a1?1，对于n＞1（n∈N）有an?3an?1?2，求an.

解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4

n-1n-1 n-1

∴an+1-an=4·3 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3-1

2n-2

解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·3，…，an-an-1=4·3，

把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

bn?1?bn?b221n1n(bn?bn?1) 由上题的解法，得：bn?3?2()n ∴an?n?3()?2() 33232n

(5)递推式为an?2?pan?1?qan

2

思路：设an?2?pan?1?qan,可以变形为：an?2??an?1??(an?1??an)，

想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求an。

(6)递推式为Sn与an的关系式

关系；（2）试用n表示an。

∴Sn?1?Sn?(an?an?1)?(∴an?1?an?an?1?n+1

n+1

n

12n?1n

∴an?1)

2n?22n?111?an?n 221?1上式两边同乘以2得2an+1=2an+2则{2an}是公差为2的等差数列。

n

∴2an= 2+（n-1）·2=2n

3