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2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题

1. A??数。

?0?EnEn??，L??B?M2n(R)AB?BA?。证明L为M2n(R)的子空间并计算其维0?En??，请问A是否可对角化并给出理由。若A可对角化为C，给出可逆矩阵0??02. A???EnP，使得P?1AP?C.

3.方阵A的特征多项式为f(?)?(??2)3(??3)2，请给出A所有可能的Jordan标准型。

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4. ?1，?2，?3为AX?0的基础解系，A为3行5列实矩阵。求证：存在R的一组基，

其包含?1??2??3，?1??2??3，?1?2?2?4?3。

5．X，Y分别为m?n和n?m矩阵，YX?En，A?Em?XY，证明A相似于对角矩阵。 6. A为n阶线性空间V的线性变换，?1，?2，…，?m为A的不同特征值，V?i为其特征子空间。证明：对任意V的子空间W，有W?(W?V?1)?????(W?V?m).

7.矩阵A，B均为m?n矩阵，AX?0与BX?0同解，求证A、B等价。若A、B等价，是否有AX?0与BX?0同解？证明或举反例否定。

8.证明：A正定的充分必要条件是存在方阵Bi（i?1,2,???,n），Bi中至少有一个非退化，使得A??BBii?1nTi。

9.定义?为[0,1]到n阶方阵全体组成的欧式空间的连续映射，使得?(0)为第一类正交矩阵，?(1)为第二类正交矩阵。证明：存在T0?(0,1)，使得?(T0)退化。

10.设g，h为复数域C上n维线性空间V的线性变换，gh?hg。求证g，h有公共的特征向量。若不是在复数域C上而是在实数域R上，则结论是否成立？若成立，给出理由；不成立举出反例。