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化为：

??X????X?2t20?22?11?2??????XP?pX?xp??Pxt2 XXx0?00???2?t?2??（注：自由粒子Px,Px与时间无关）。

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第五章 变量可分离型的波动方程

1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势

V?r??试给出有n个l?V00r?0r?a

?0的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态

13??r,?,???R21?r?Y10??,???R21?r?Y1?1??,??

22求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。 4、证明

121??,r?? 2r?r12?,r?? 25、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域率。

6、设V?????E?V?T?0?的几

?r??Br2?A/r2,其中A,B?0，求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a，高为h的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位

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能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：

Z?eA??r???2

rr其中，Z?e表示原子实的电荷，A?0，证明，电子在原子实电场中的能量为

Enl???e4z?22?21?n??l?2

而?l为l的函数，讨论?l何时较小，求出?l小时，Enl公式，并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动，其哈密顿量

p2H0?x?V?x?

2m的能级为En，试用Feynmen(0)?Hellmann定理，求

?PxH?H0?m的能级En。

10、设有两个一维势阱

V1?x??V2?x?

若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为E1n,E2n（1）证明E1n（提示：令V?n?1,2??

?E2n

??,x???1???V1??V2

V(X)12??2KX??12Kb??2x?b（2）若粒子的势场

x?b中运动，试估计其束缚能总数的上、下限

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11、证明在规范变换下

?????

1q?????j???P???P??A??? 2??c????q?????P???A?

c??不变。

12、计算氢原子中3D?2P的三条塞曼线的波长。

?13．带电粒子在外磁场B??0,0,B?中运动，如选

1?1???A???yB,xB,0?或A?(0,xB,0) 2?2?试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E及均匀磁场B中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z轴方向，电场方向为X轴方向）。

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