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25 图形面积的计算

阅读与思考

计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算

由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算

非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.

计算图形的面积还常常用到以下知识：

（1）等底等高的两个三角形面积相等.

（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：

S1l1S2l2S1S2S1S3S1S2S1S2S3S4

S1S2S4S2

例题与求解

【例1】 如图，在直角△ABC的两直角边AC，BC上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，连接GW，若AC=14，BC=28，则S△AGW=______________．

(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)

解题思路：△AGW的面积可以看做△AGF和△GWF的面积之差.

GDCEAWB

F 【例2】 如图，已知△ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且

BC=4CF.四边形BDCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

（2013年全国初中数学竞赛广东试题）

解题思路：设△ABC底边BC上的高为h.本例关键是通过适当变形找出h和DE之间的关系．

ADEB2

CF

【例3】 如图，平行四边形ABCD的面积为30cm，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm，AD=5cm，求DE长.

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE及其它线段表示．

2

EDFCA

B

【例4】 如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80 cm，CE=60

cm，DE=40 cm，AE=30 cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？

（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）

解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.

A丁甲E丙B

D乙C

【例5】 如图，△ABC的面积为1，D，E为BC的三等分点，F，G为CA的三等分点，求四边形

PECF的面积.

解题思路：连CP，设S△PFC=x，S△PEC=y，建立x，y的二元一次方程组.

AGQB

【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点， DE与AF交于点P，点Q在线段

PEFC

DDE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．

（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）

解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积.