内容发布更新时间 : 2024/9/20 3:55:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第三讲：初等数论3——同余的性质和应用

三、巩固练习

1. 今天是星期三，到第1000天是星期几？

解：从今天到第1000天相隔999天，1000-1≡5(mod 7)，3+5-7=1，是星期一.

2. 若1059，1417，2313分别被自然数x除时，所得余数都是y，则x-y= ． 解：∵1059≡y(mod x) ，1417≡y(mod x) ， 2313≡y(mod x)，

∴1417-1059=358≡0(mod x)，2313-1417=896≡0(mod x)， 2313-1059=1254≡0(mod x) 又（358，896，1254）的最大公约数为2，则x=2， y=1，x-y=1． 3. 若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是（ ） A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

解：1995除以6的余数是3，a≡1995 (mod 6)，a除以6的余数也是3，只有a=27，选C. 4. 一个两位数被7除余1，它的反序数被7除也余1，那么这样的两位数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

解：列出满足条件的所有两位数：15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，85，92，99

两位数据反序数也满足条件的有：22，29，92，99，选C. 5. 设n为自然数，则32n+8被8除的余数是_________.

解：由32n+8=9n+8，知32n+8≡1n+0(mod 8)≡1(mod 8) ，故32n+8被8除余1.

6. 黑板上写着13个数：1908，1918，1928，1938，1948，1958，1968，1978，1988，1998，

2008，2018，2028．小明第一次擦掉其中的一个数，第二次擦掉剩下数中的两个数，第三次擦掉剩下数中的三个数，第四次擦掉剩下数中的四个数，他想使得每次擦掉数后剩下的所有数之和为13的倍数，小明的意图能否达到？如果可以，给出一种可行的方法，不能请说明理由．

答案：可以：

依次擦掉 （2028）； （1958，1968）； （1908，1938，1978）；

（1918，1928，1998，2008）。（1948、1988、2018）

解：思路如下：

(mod13)，写出的13个数除以13余数互不相同，10?19087?1918（mod13），

4?1928（mod13）、1?1938（mod13）,11?1948(mod13)、8?1958(mod13)、

(mod13)、2?1978(mod13)、12?1988(mod13)、9?1998(mod13)、5?1968(mod13)、3?2018(mod13)、0?2028(mod13)、每一次操作就是去6?2008掉13的倍数，即要将0～12分成五组，每一组数的个数分别为1，2，3，4，3，使得每一组数之和都是13的倍数。

7. 在“圆明杯”数学竞赛中，数学老师出了一道题：“2011分别除以m个不同的自然数，

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得到的余数都是11”，请推算m的最大值是

解：这m个自然数都大于11，且都是2000的约数。所以只需求2000的大于11的约数即可。 2000的约数共20个，其中小于11的有1，2，4，5，8，10共6个，所以m的最大值为14.

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