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【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】

第15讲 导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题

考纲要求:

1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．

常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对

多项式函数不超 过三次).

3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值

（1）设函数y?f(x)在x?x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的值都大（小），则称f(x0)是函数y?f(x)的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤

先求定义域D,再求导，再解方程f(x)?0（注意和D求交集），最后列表确定极值。

11一般地，函数在f(x)点x0连续时，如果x0附近左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)11是极大值。一般地，函数在f(x)点x0连续时，如果x0附近左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，

1那么f(x0)是极小值。

（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

'（5）一般地，连续函数f(x)在点x0处有极值 是f(x0)=0的充分非必要条件。

（6）求函数的极值一定要列表。 2、用导数求函数的最值

（1）设y?f(x)是定义在闭区间?a,b?上的函数，y?f(x)在?a,b?内有导数，可以这样求最值：

①求出函数在?a,b?内的可能极值点（即方程f(x)?0在?a,b?内的根x1,x2,?,xn）；

/②比较函数值f(a)，f(b)与f(x1),f(x2),?,f(xn)，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）如果是开区间(a,b)，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。 应用举例

类型一、利用导数解决不等式恒成立问题

【例1】【2017西安八校联考】已知函数f(x)＝m(x－1)e＋x(m∈R)．

(1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x＜0，不等式x＋(m＋2)x＞f′(x)恒成立，求m的取值范围．

2

x2

?x2?2x(2)依题意，f′(x)＝mx?e＋?＜x＋(m＋2)x，x＜0，因为x＜0，所以me－x－m＞0，

?

m?

令h(x)＝me－x－m，则h′(x)＝me－1，

当m≤1时，h′(x)≤e－1＜0，则h(x)在(－∞，0)上单调递减，所以h(x)＞h(0)

＝0，符合题意；

当m＞1时，h(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m,0)上单调递增， 所以h(x)min＝h(－ln m)＜h(0)＝0，不合题意．

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

点评：利用导数解决不等式的恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题

【例2】【2017福建四地六校联考】已知a为实数，函数f(x)＝aln x＋x－4x.

(1)是否存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值？证明你的结论；

2

xxx?1?使得f(x)≤g(x)成立，

(2)设g(x)＝(a－2)x，若?x0∈?，e?，求实数a的取值范围． 00

?e?

2

a2x－4x＋a解：(1)函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝＋2x－4＝.

xx假设存在实数a，使f(x)在x＝1处取极值，则f(1)＝0，

2?x－1?

∴a＝2，此时，f′(x)＝，当x>0时，f′(x)≥0恒成立，

2

x∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴x＝1不是f(x)的极值点． 故不存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值．

类型三、利用导数证明不等式

【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】已知函数f(x)＝

x＋ae

x.

(1)若f(x)在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)若a＝0，x0＜1，设直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0处的切线，求证：

f(x)≤g(x)．

解：(1)易得f′(x)＝－

x－?1－a?

e

x，由已知知f′(x)≥0对x∈(－∞，2)恒成立，

故x≤1－a对x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1. 故实数a的取值范围为(－∞，－1]． (2)证明：a＝0，则f(x)＝x. e

函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)． 令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，

1－x1－x0?1－x?ex0－?1－x0?e

则h′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝x－＝.

eex0ex＋x0设φ(x)＝(1－x)ex0－(1－x0)e，x∈R，则φ′(x)＝－ex0－(1－x0)e， ∵x0＜1，∴φ′(x)＜0，∴φ(x)在R上单调递减，而φ(x0)＝0， ∴当x＜x0时，φ(x)＞0，当x＞x0时，φ(x)＜0， ∴当x＜x0时，h′(x)＞0，当x＞x0时，h′(x)＜0，

xxxx