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2012年高考真题理科数学解析分类汇编2 函数与方程 一、选择题
1.【2012高考重庆理7】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的
(A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件 【答案】D
【解析】因为f(x)为偶函数,所以当f(x)在[0,1]上是增函数,则f(x)在[?1,0]上则为减函数,又函数f(x)的周期是4,所以在区间[3,4]也为减函数.若f(x)在区间[3,4]为减函数,根据函数的周期可知
f(x)在[?1,0]上则为减函数,又函数f(x)为偶函数,根据对称性可知,f(x)在[0,1]上是增函数,综
上可知,“f(x)在[0,1]上是增函数”是“f(x)为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件,选D. 2.【2012高考北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。 3.【2012高考安徽理2】下列函数中,不满足:f(2x)?2f(x)的是( )
(A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x??
【答案】C
【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。
(D)f(x)??x
【解析】f(x)?kx与f(x)?kx均满足:f(2x)?2f(x)得:A,B,D满足条件. 4.【2012高考天津理4】函数f(x)?2?x?2在区间(0,1)内的零点个数是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
x3
【解析】解法1:因为函数f(x)?2x?x3?2的导数为f'(x)?2xln2?3x2?0,所以函数又f(0)=1+0?2=?1,f(1)=2+23?2=8,即f0()1<()?0ff(x)?2x?x3?2单调递增,在(0,1)内连续不断,故根据根的存在定理可知f(x)在(0,1)内的零点个数是1.
解法2:设y1=2x,y2=2?x3,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知B正确.
4且函数f(x)25102 ?125.【20124高考全国卷理9】已知x=lnπ,y=log52,z?e,则
(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x
6D 【答案】【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法。
?11111?1,所以y?z?x,选【解析】x?ln??1,y?log52?,??,z?e2?log252ee281D.
6.【2012高考新课标理10】 已知函数f(x)?1;则y?f(x)的图像大致为( )
ln(x?1)?x
【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与x轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可。
【解析】法1:因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而f?(x)?3x?3?3(x?)(x?1),当x??1时取得极值
2
由f(1)?0或f(?1)?0可得c?2?0或c?2?0,即c??2。 法2:排除法,因为f(2)?11?0,排除A.f(?)?ln2?2211??0,排除C,D,选B. 11eln?ln2227.【2012高考陕西理2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A. y?x?1 B. y??x2 C. y?
1
D. y?x|x| x
【答案】D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数;B是奇函数且是减函数;
?x2,x?0C是奇函数且在(??,0),(0,??)上是减函数;D中函数可化为y??2易知是奇函数且是增函
?x,x?0?数.故选D.
8.【
2012
高
考
重
庆
理
10
】
设
平
面
点
集
?1?A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)2?(y?1)2?1,则AB所表示的平面图形的面
x????积为 (A)
334?? (B)? (C)? (D)
5472
【答案】D 【解析】法
1:由对称性:
y?x,y?1,(x?1)2?(y?1)2?1围成的面积与xy?x,y?1,(x?1)2?(y?1)2?1围成的面积相等 得:AB所表示的平面图形的面积为x,
1? y?x,(x?1)2?(y?1)2?1,围成的面积既??R2?22。
?y?x?0?y?x?01??法2:由(y?x)(y?)?0可知?或者?,在同一坐标系中做出平面区域如图:11xy??0y??0??xx??,由图象可知A?B的区域为阴影部分,根据对称性可知,两部分阴影面积
之和为圆面积的一半,所以面积为
?,选D. 2