2018届人教A版 离散型随机变量及其分布列 单元测试 下载本文

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2018版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.7 离散型随机变量及其分布列真题演练集训 理 新人教A版

1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布列;

(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?

解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而

P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;

P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;

1

P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.

所以X的分布列为

X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知,P(X≤18)=0.44,P(X≤19) =0.68,故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,

E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200

+3×500)×0.04=4 040.

当n=20时,

E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04 =4 080.

可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19. 2.[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0分.

32

已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影43响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).

解:(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”, 记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”, 记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意,E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD. 由事件的独立性与互斥性,得

P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD) +P(ABCD) +P(ABCD)

=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

3232123231322

=×××+2××××+×××=. 43434343434332所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

3

2

(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得

P(X=0)=×××=34

1143111

4314411113434313143431111434323133434

23

11105

=,

4314472

31124343

1225

43144

P(X=1)=2××××+×××=3143324334

P(X=2)=×××+×××+×××+×××=P(X=3)=×××+×××=

23

32121

=,

4314412

12605

=,

4314412

12124343

P(X=4)=2××××+×××=P(X=6)=×××=3243

32361

=. 431444

可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4所以数学期望E(X)=0×

152515123+1×+2×+3×+4×+6×=. 14472144121246

课外拓展阅读

离散型随机变量的分布列答题模板

[典例] 已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;

(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.

233

[解] (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率P1=×=.

5410(2)由题意,X的可能取值为200,300,400. 2×11

则P(X=200)==;

5×410

P(X=300)=3×22×3×23

+=;

5×4×35×4×310

35

P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=.

3