内容发布更新时间 : 2024/5/3 20:41:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第5讲 二项分布与正态分布
[最新考纲]
1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布． 3．能解决一些简单的实际问题.
知 识 梳 理
1．条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P?AB?为在事(2)若B，C是两个互P?A?斥事件，则P(B∪C|A)件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ＝P(B|A)＋P(C|A) 2.事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．
3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，?，n)表示第i次试验结果，则
P(A1A2A3?An)＝P(A1)P(A2)P(A3)?P(An)． (2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发
kn－k
生的概率为p，则P(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2，?，n)，此时称随机变量Xnp(1－p)
服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 4．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a ?a 机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象(正态曲线)关于直线x1 ＝μ对称，在x＝μ处达到峰值σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P(μ－σ 1．条件概率与相互独立事件的概率 (1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(√) (2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(×) (3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布 (4)在正态分布函数φμ，σ(x)＝μ是正态分布的期望中， 值，σ是正态分布的标准差．(√) kn－k(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Ck，k＝np(1－p) 0,1,2，?，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(√) 1(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是3，他连续测试3次，那1?3－14?1?1? 1－???么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C1··＝9.(×) 333?????[感悟·提升] 1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝ P?AB?n?AB? ＝，P?A?n?A? 其中，在实际应用中P(B|A)＝ n?AB? 是一种重要的求条件概率的方法． n?A? 2．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A、B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)，如(1)，(2)． 3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点： 一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p. 二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝ kn－kCk表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率. np(1－p) 考点一 条件概率 【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )． 1121A.8 B.4 C.5 D.2 (2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”， 则P(B|A)＝________. 2 C242C213＋C22解析 (1)P(A)＝C2＝10＝5，P(AB)＝C2＝10. 55 1 P?AB?101 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝4＝4. P?A? 10(2)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝事件AB表示“豆子落在△EOH内”， 12×1 S△EOH21 则P(AB)＝＝＝. S圆Oπ×122π S正方形EFGH2×22 ＝＝. πS圆Oπ×12