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常微分方程试题库

（一）、填空题（每空3分）

1、 当_______________时，方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。

2、形如________________的方程，称为齐次方程。

3、求

dy?f(x,y)满足?(x0)?y0的解等价于求积分方程dx____________________的连续解。

4、设y??(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，?(x)是其对应齐线性方程于区间I上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。

5、若x1(t),x2(t),...xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组

dXdX?A(t)X的_________________,称之为?A(t)X的dtdtdX?AX的基解矩阵，则expAt dt一个基本解组。

7、若?(t)是常系数线性方程组

= 。

8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

9、设?1(x),?2(x)是与二阶线性方程： y???a1(x)y??a2(x)y?f(x)，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： . 10、形如 的方程称为欧拉方程。

11、若?(t)和?(t)都是

dX?A(t)X的基解矩阵，则?(t)和?(t)具有dt的关系： 。

12、若向量函数g(t;y)在域R上 ，则方程组

dy?g(t;y),?(t0;t0,y0)?y0的解?存在且惟一。 dt13、方程y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1))经过变换 ，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。

14、方程y???4y?0的基本解组是 ．

15、向量函数组Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的

________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式W(x)?0．

16、若?(t)是常系数线性方程组

dX?A(t)X的 基解矩阵,则该方程dt满足初始条件?(t0)??的解?(t)=_____________________

17、n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 18、方程 称为黎卡提方程。

19、如果f(x,y)在R上： ，则方程

dy?f(x,y)存在唯一的解y??(x)定义于区间x?x0?h上，连续且满足dx初始条件?(x0)?y0，其中h? ，M? 。

20、若xi(t)(i?1，2，……，n)是n阶齐线性方程的n个解，W(t)为其伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程 。

21、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只含x的积分因子的充要条件是 。其积分因子为： ；有只含y的积分因子的充要条件是 ，其积分因子为： 。

22、方程 称为黎卡提方程，若它有一个特解?（x）,则经过变换 ，可化为伯努利方程。

23、若D?时，则：

d，而L(D)?Dn?a1Dn?1???an?1D?an?（x）、且L(?)?0dx1e?x= 。 L(D)24、若?(t)是n阶非齐线形方程的一个特解，?i(t)（i?1,2,?,n）是其对应齐线性方程的一个基本解组，则非齐线形方程的所有解可表为 。

25、如果A(t)是n×n矩阵，F(t)是n维列向量，则它们在 a?t?b上 时，方程组

dX?A(t)X?F(t)满足初始条件dtX(t0)??的解在a?t?b上存在唯一。

d26、若D?，而L(D)?Dn?a1Dn?1???an?1D?an，fk(x)是关于x的

dx1fk(x)?Qk(D)fk(x)，其中Qk(D)k次多项式.则当L(0)?an?0时, 有L(D)是D的k次多项式,它是将L(D)按D的升幂排列后用通常的多项式除法去除1,在第 步上得到的商式。

27、在用皮卡逐步逼近法求方程组

dX?A(t)X?F(t)，X(t0)??的dt近似解时，则?k(t)? 。

28、若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

29、线性齐次微分方程组

dY?A(x)Y的一个基本解组的个数不能dx多于 个。

30、二阶线性齐次微分方程的两个解y??1(x),y??2(x)成为其基本解组的充要条件是 ．

dy?x2tany的所有常数解是 ． dx32、方程xsinydx?ycosxdy?0所有常数解是 ．

31、方程

33、 线性齐次微分方程组的解组Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式W(x)?0．

dydy?y2?x2?0的阶数是____________

dxdx35、对于任意的(x,y1) ,(x,y2) ?R (R为某一矩形区域),若存在常

34、微分方程()n?数N(N?0)使 ______________________ ,则称f(x,y)在R上关于y满足李普希兹条件.

36、函数组et,e?t,e2t的伏朗斯基行列式为 。 37、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,?,vn，它们对应的特征值分别为?1,?2,??n，那么矩阵?(t)= 线性方程组

dX?AX的一个基解矩阵。 dtdX38、设?(t)是方程组?A(t)X的基本解矩阵，?(t)为

dtdX则它的任一解都可表为 。 ?A(t)X?F(t)的某一解，

dt39、方程 称为变量分离方程,它有积分因子 。

dX?A(t)X的基解矩阵，则向量函数 dtdX?(t)= 是?A(t)X?F(t)的满足初始条件?(t0)?0的解；

dtdX向量函数?(t)= 是?A(t)X?F(t)的

dt满足初始条件?(t0)??的解。

40、若?(t)是

dr3d2r41、方程()?1?2是 阶方程。

dsds?????x??x?0是 阶方程。 x42、方程?x43、函数满足的一阶方程是 。