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数学史著名公式定理在初中数学的运用

2018.7

1. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21， 这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依

次以这列数为半径作 圆弧 ， ， ， 得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结 ， ， ， 得到螺旋折线 如图 ，已知点 ， ， ，则

该折线上的点 的坐标为（ ）.

A. B. C. D.

2. 阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中

E，F分别表示凸多面体的顶点数、一条是：如果用V，棱数、面数，则有 这个发现，就是著名的欧拉定理 根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为 ．

3. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．

； ；

； ； ； ； ；

通过这组等式，你发现的规律是 请用文字语言表达 ．

4. “斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34， 从第3个数开始，

每个数是前面两个数的和 “斐波那契螺旋线”是以斐波那契数位边的正方形拼成的长方形，然后再正方形里面画一个 的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线 如图1，自然界中有许多动植物是按照斐波那契螺旋线的规律生长 图2是小明用“1，1，2，3，5，8”构成的斐波那契螺旋线，则小明构造的斐波那契螺旋线的长度为 ．

5. 背景资料：

在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小． 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．

如图 ，当 三个内角均小于 时，费马点P在 内部，此时 ，此时， 的值最小． 解决问题：

如图 ，等边 内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求 的度数．

为了解决本题，我们可以将 绕顶点A旋转到 处，此时 ≌ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出 ______； 基本运用：

请你利用第 题的解答思想方法，解答下面问题：

如图 ， 中， ， ，E，F为BC上的点，且 ，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明； 能力提升：

如图 ，在 中， ， ， ，点P为 的费马点，连接AP，BP，CP，求 的值．

6. 用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格

点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形 设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则 史称“皮克公式” ． 小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形： （1）根据图中提供的信息填表：

格点多边形各边上的格点多边形内部的格点格点多边形的格点的个数 8 7 个数 1 3 面积

多边形1 多边形2 一般格点多边形 a b S （2）则S与a、b之间的关系为 ______ 用含a、b的代数式表示 ．

7. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 ，公元前 公元前212年，古希腊 是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 年 的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

AB和BC是 的两条弦 即折线ABC是圆的一条折弦 ，阿基米德折弦定理：如图1，

的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ，M是

下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程 证明：如图2，在CB上截取 ，连接MA，MB，MC和MG．

的中点， 是 ． 任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

上一点， ，（2）填空：如图3，已知等边 内接于 ， ，D为 于点E，则 的周长是__________ ．

8. 问题探究：

【1】新知学习

（1）梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

（2）梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）形如分式

为常数，且 ，若 ，则

，并且有下列结论：当x 逐渐增大时，分母 逐渐增大，分式的值逐渐减少并趋于0，但仍大于的值逐渐增大并趋于

当x 逐渐减少时，分母 逐渐减少，分式于，但仍小于．

，即趋

【2】问题解决一