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2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-8曲线与方

程教师用书理苏教

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的基本步骤 【知识拓展】

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × )

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( × ) (4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( × ) (5)y＝kx与x＝y表示同一直线．( × )

1．(教材改编)已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是________． 答案 抛物线

2019年

解析 由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，

点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．

2．(2016·苏州模拟)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是________________． 答案 一条直线和一条射线 解析 原方程可化为或－1＝0， 即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，

故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．

3．(2016·南通模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________________． 答案 (x－2)2＋y2＝4(y≠0)

解析 由角的平分线性质定理得PA＝2PB， 设P(x，y)，则＝2，

整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．

4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________________． 答案 ＋＝1

解析 设MN的中点为P(x，y)， 则点M(x,2y)在椭圆上，∴＋＝1， 即＋＝1(a>b>0)．

5．(2016·镇江模拟)若点P在椭圆＋y2＝1上，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，且满足·＝t，则实数t的取值范围是____________． 答案 [－7,1]

解析 设P(x，y)，F1(－2，0)，F2(2，0)，

→

PF1＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－2－x)(2－x)＋(－y)2＝x2＋y2－8.

∵P在椭圆＋y2＝1上，∴y2＝1－， ∴t＝·＝x2＋y2－8

2019年

＝x2－7，∵0≤x2≤9，

∴－7≤t≤1，故实数t的取值范围为[－7,1]. 题型一 定义法求轨迹方程

例1 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1

解 由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)． 设点A的坐标为(x0，y0)，

由曲线的对称性，得B(x0，－y0)， 设点M的坐标为(x，y)，

直线AA1的方程为y＝(x＋3)．① 直线A2B的方程为y＝(x－3)．② 由①②得y2＝(x2－9)．③

又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④ 将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．

因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．

思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2＝4.动圆M与

圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 由O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1＝r－1；

由动圆M与圆O2外切，有MO2＝r＋2.