内容发布更新时间 : 2025/1/1 8:52:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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思想02分类与整合思想

?x?1，x?0，11.（2017·全国高考真题（理））设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范

2?2，x?0，围是____________.

2．（2012·上海高考真题（理））如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且

AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .

3．（2017·全国高考真题（文））设数列?an?满足a1?3a2?L??2n?1?an?2n. （1）求?an?的通项公式；

（2）求数列??an??的前n项和． 2n?1??x2y23x4．,轴被曲线（2011·湖南高考真题（理））如图,椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的离心率为ab2C2:y?x2?b截得的线段长等于C1的长半轴长.

（1）求C1,C2的方程；

（2）设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交

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与D,E.

①证明：MD?ME；

②记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2.问：是否存在直线l,使得

325．（2019·全国高考真题（文））已知函数f(x)?2x?ax?2.

S117=?请说明理由. S232（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当0

一、考向分析：

二、考向解读

考向1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论

1.有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等.

2.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.

3.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.

典例1.（2020·江苏高三专题练习）已知等比数列（ ）

A．-1

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的前项和为,,则数列的公比

B．1 C．士1 D．2

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?2x?1,x?0典例2. （2020·江苏高三专题练习）已知函数f(x)??2,若不等式|f(x)|?mx?2恒

??x?3x,x?0成立,则实数m的取值范围为( )

A．[3?22,3?22] C．(3?22,3?22)

B．[0,3?22] D．[0,3?22]

典例3.（广东省韶关市2019届高三1月调研）已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,椭圆的一个顶点为

,右焦点到直线（1）求椭圆的标准方程； （2）若过作两条互相垂直的直线的面积的取值范围.

考向2 由图形位置或形状引起的分类讨论

1.一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.

2.圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.

3.相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.

典例4. （2019·全国高三专题练习（理））试在抛物线y??4x上求一点P,使其到焦点F的距离与到A??2,1?的距离之和最小,则该点坐标为( )

A．??2的距离为.

,且交椭圆于、两点,交椭圆于、两点,求四边形

?1?,1? 4??B．??1?,1? 4??C．?2,?22

??D．?2,22

??典例5.（上海华师大二附中高三月考）在平面内,不共线的四个定点O、A、B、C满足

uuuruuuruuuruuurruuuruuuruuuuuuruuur|OA|?|OB|?|OC|?2,且OA、OB、OC两两夹角相等,动点E、F分别满足|AF|?1,AE?EC,则

uuur|EF|的取值范围为________

xy

典例6.设F1,F2为椭圆＋＝1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶

94|PF1|

点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.

|PF2|

考向3 由变量或参数引起的分类讨论

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2

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含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.

典例7. （2020·江苏高三专题练习）已知数列?an?的前n项和S满足

Sn?(?1)nan?2n?6?A．196

1(n?N*),则S100?（ ） n21B．200 C．194?100

2D．198?1 2102典例8.（天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上期末）已知函数

,若方程有八个不等的实数根,则实数的取值范围是

__________．

典例9.（2020·江苏高三专题练习）设函数f(x)?mx?mx?1,(m?0),若对于

2x?[1,3],f(x)??m?5恒成立,则m的取值范围是________.

讲方法

1.分类整合思想的含义：

分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．

2.分类与整合思想在解题中的应用

(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．

(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的限制,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等．

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．

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3.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.

4.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论. 5.解题时把好“四关”.

(1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”; (2)要找准划分标准,把好“分类关”;

(3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”;

(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.

典例10.（浙江省台州中学2018届高三统练）若关于x的不等式xx?a?b?a?R?在?1,2?上恒成立,则实数b的取值范围是_______.

典例11. （2019·上海市南洋模范中学高三期中）在数列?an??an?1?n?1n?2n?2a?1S3a?3a?2?3?2(n?2)中,1,,n是数列??的前n项和,当不等式nn?1?n?(3m?1)(Sn?m)*?1(m?N)恒成立时,mn的所有可能取值为 . m3(Sn?1?m)典例12. （2019·辽宁高三期末（理））定义：对于实数m和两定点M,N,在某图形上恰有n?n?N*?uuuuvuuuv·PN?m?i?1,2,3Ln?,称该图形满足“n度契合”.若边长为4的正方形个不同的点Pi,使得PMiiuuuruuuuruuuruuurABCD中,BC?2BM,DN?3NA,且该正方形满足“4度契合”,则实数m的取值范围是__________．

典例13. （2020·浙江高一期末）已知函数f?x??ln（1）判断并说明函数y?f?x?的奇偶性；

2（2）若关于x的不等式f?2m?msinx??fcosx?0恒成立,求实数m的取值范围．

?1?x2?x．

???典例14. （2018·河南高考模拟（理））已知抛物线C:y?2px?p?0?的焦点为F,准线为l,过焦点

2F的直线交C于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点,y1y2??4.

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