内容发布更新时间 : 2024/5/29 5:45:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2014-2015-1线性代数期末试卷答案及评分标准(A)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 在下列矩阵中，不是初等矩阵的是（ D ）

1 0??0 ??

（A）?1 0 0? （B）

?0 0 1????1 0 2???0 1 0?? （C） ?0 0 1????1 0 0??1 0 3????? （D）0 2 00 2 0????

?0 0 1??0 0 1?????2. 下列关系式不正确的是（ B）

（A）R(A?B)?R(A)?R(B) （B） R(A)?R(AB)

（C） R(AB)?R(A)?R(B) （D）R(A,B)?R(A)?R(B)

3. 若齐次线性方程组Ax?0有非零解，则对应非齐次线性方程组Ax?b必（ C）

（A）无解 （B）有无穷多解 （C）不确定 （D）有唯一解

4. 设A为3?4矩阵，则（ D ）

（A）行向量组线性无关 （B）列向量组线性无关

（C）行向量组线性相关 （D）列向量组线性相关

?1 0 0???5. 设矩阵A??0 1 2?，其特征值为 （ A ）

?0 2 1??? （A）?1, 1, 3 （B）0, 1, 2 （C）0, 1, 3 （D）1, 1, 1

二、填空题（每小题3分，共15分）

?204??? 6． 设不可逆矩阵A??11a，则a= 0 . ???126????1?17. 若?为A的特征向量，则 P?为PAP的特征向量.

*?18． 设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，已知|A|??1，则| 2A?2A|? 64 .

9． 已知向量组?1?(1,1,0), ?2?(1,3,?1), ?3?(5,?3,t),线性相关，则 t?__4___.

210. 设A是4阶矩阵且满足A?A, 则R(A?2E)=____4__.

TTT 1

三、 判断题,对的打√，错的打×（每小题2分，共10分） 11. 若AB?AC, 则B?C（ × ）

12. 假设矩阵A,B都是同阶可逆矩阵，则A?B必可逆（× ） 13. 任一方阵必定可以表示为对称阵与反对称阵之和（ √ ）

2214. 若矩阵A与B相似，则A?A必与B?B相似（ √ ）

15. 若A为n阶实对称阵，则A必有n个两两正交的特征向量（ √ ） 四、计算题（每小题10分，共50分） 16. 解：

1 yy2 y3 1 1?x1y1 x1y2 x1y3 0 1?x1y1 x1y2 x1y3D?x2y1 1?x2y2 x2y3= 0 x2y1 1?x2y2 x2y3————————4分

x3y1 x1?x3y3 0 x3y1 x1?x3y33y2 3y2 1 yy2 y1 3 -x1 1 0 01 0= -x2 0 -x3 0 0 1

1?x1y1?x2y2?x3y3 yy2 y1 3 0 1 0 0= 0 0 1 0

0 0 0 1?1?x1y1?x2y2?x3y3 . ————————————————10分

3??4 2 ??17.设矩阵A??1 1 0?，矩阵X满足AX?A?2X，求X.

??1 2 3???解: 由题目知(A?2E)X?A.

若A?2E可逆，则X?(A?2E)A.—————————————3分 对(A?2E,A)施加初等行变换，即?1?2 2 3 4 2 3??1 0 0 3 ?8 ?6?????(A?2E,A)??1 ?1 0 1 1 0?~?0 1 0 2 ?9 ?6???1 2 ?1 ?1 2 3?1 ?2 12 9????0 0 ?——————8分

所以A?2E可逆，且

? 3 ?8 ?6???X?? 2 ?9 ?6?? ?2 12 9? ??.—————————————10分

2

?2x1?3x2?x3?4?x?2x?4x??5?12318. 求线性方程组?的通解.

?3x1?8x2?2x3?13??4x1?x2?9x3??63 1 4??2 ??1 ?2 4 ?5??解：增广矩阵(A,b)??施加初等行变换化成行最简型

3 8 ?2 13????4 ?1 9 ?6???3 1 4??1 0 2 ?1??2 ????1 ?1 2??1 ?2 4 ?5??0 ，——————————6分 (A,b)??~3 8 ?2 13??0 0 0 0??????4 ?1 ??9 ?6??0 0 0 0????x1??2x3?1x?2x??1?3其对应的齐次线性方程组为?1—— —8分

,所以??x2?x3?2?x2?x3?2?x?x?03?3?x1???2???1???????所以通解为?x2??c? 1??? 2?,其中c为任意数.——————————10分

?x?? 1?? 0??3?????19. 已知向量组?1?(?1,1,1)T, ?2?(1,?1,1)T, ?3?(0,0,1)T,?4?(?1,1,0)T， 求出它的秩及其一个极大无关组.

1 0 ?1??1 ?1 0 ?1???1 ????1?~?0 2 解: 向量组(?1,?2,?3,?4)??1 ?1 0 1 ?1?,———6分

?1 ??1 1 0????0 0 0 0?所以向量组的秩为2，————————————8分

因任意两个向量都是线性无关，所以一个极大无关组为?1,?2.——10分

?2 ?1 2???T20. 已知??(1, 1, ?1)是矩阵A??5 ?3 3?的一个特征向量，试判断A是否可以对角

??1 b ?2???化？

T解：设??(1, 1, ?1)对应的特征值是?.从而由A????，————2分

得到方程组??2?1?2??所以???1,b?0，————————— 4分

??1?b?2??? 3