内容发布更新时间 : 2024/5/18 4:00:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

通常称之为频谱.其大小描述了幅度随时间变化的关系，称为幅度谱；其相位描述了相位随时间变化的关系，称为相位谱.指数形式的Fourier级数表明，任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，其各分量的复数幅度（或相量）就是Fn.由于指数形式表达简洁，便于计算，且物理概念清楚，在通信中广泛应用[2].

例1已知一周期矩形信号f(t)，幅度为A，脉宽为?，周期为T，如图2所示.求f(t)的频谱Fn及其指数形式的Fourier级数.

f(t)

图2 t ? -?

?1T1?jn?tFn??2Tf(t)e1dt??2?Ae?jn?1tdt

T?2T?2n??1sin()A??jn?jn?A?n??A12An??111222?Sa(1) ?(e?e)?sin()?T(n??T2T?jn?1n?1T21)2??Sa(x)?式中，

sinx称为取样函数.由此得周期矩形信号f(t)的指数Fourier级数x为

A?f(t)?Tn????Sa(??n??1)?ejn?1t 2据此可以画出Fn的双边频谱.显然，频谱的包络分布服从抽样函数分布规律，幅度呈衰减震荡且出现周期性的零点.

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周期信号的频谱具有如下几个共同特性.

（1）离散型.周期信号的频谱中各谱线是不连续的，所有频谱均由最小间隔为基频?1的谱线组成.由于谱线之间的最小间隔为基频?1，而?1?2?T,故信号的周期决定了谱线之间的最小间隔，信号周期T越大，基频就越小，谱线之间越密；反之，T越小，?1越大，谱线之间越疏.由于非周期信号可以看做是T??的周期信号，因此可以预见，非周期信号的频谱应该是连续谱.

（2）谐波性.谱线只出现在基频整数倍的频率n?1位置上.

（3）收敛性.即幅度衰减特性，实际上工程中遇到的绝大多数信号，其幅度谱线将随频率n?1的增加不断衰减，并最终趋于零. 3.1.2 非周期信号的频谱分析

由上文可知，令周期信号的重复周期T??，则可以将其视为非周期信号.为了描述非周期信号的频谱特性，引入了频谱密度的概念.非周期信号的频谱密度定义为F(?)?limFnT

T??经推导有

F(?)?????? f(t)e?j?tdt （3.4）

??1f(t)?2????F(?)ej?td? （3.5）

式（3.4）和式（3.5）为一个Fourier变换对.式（3.4）称为f(t)的Fourier变换，即频谱密度函数，简称频谱.式（3.5）称为Fourier逆变换，已知频谱即可求出信号的时域表达式.时间信号f(t)与其Fourier逆变换F(?)是一一对应的关系，知其一可求另一，故简记为f(t)?F(?).

例2 已知一非周期矩形信号如图3所示，求其频谱.

word文档 可编辑复制 f(t)

图3 t

|t|??2?1 解：矩形脉冲信号又称门函数，表达式为G???.直接利用Fourier

0 |t|>?2?变换的定义式(4.4)求得矩形脉冲信号的频谱为

??j?tF(?)??G?e????dt???1?e2?2?j?tdt?e?j??2?e?j?j??22sin(???2)??Sa(??2?)

即

G?(t)??Sa(??2)

由以上得出的函数表达式即可绘出非周期矩形信号的频谱.并可知道非周期矩形信号的频谱是一个连续谱.

Fourier变换是信号时域分析和频域分析的桥梁，在理论分析和工程实际中都有着广泛的应用.

例3 试求取样函数频谱密度. 解：取样函数的定义是：

Sa(t)?sintt

采样函数Sa(t)的频谱密度为

F(?)?????? 1-???1??, sint?j?tedt??

0, 其他t?可见，时域中的Sa(t)的Fourier变换是一个门脉冲函数.反之，时域中的门脉冲函数的Fourier变换一定是个Sa(?)函数.也即例2中的结果，其实这不是巧合，而是由于Fourier变换与频域的对称性而具有的结果.[4]

例4 正弦信号的频谱.

正弦信号可以用指数函数来表示，下面来研究指数信号Aej?0t(???t???)的傅氏变换.仿照前面的积分方法，可以求得它的傅氏变换为

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F(?)?lim?Aej?0t?e?j?tdt?lim?Ae?j(???0)tdt????????????sin(???0)? ?lim2A??2A???(???0)???0???

即

Aej?0t?2?A?(???0)

同样的方法可以得到

Ae?j?0t?2?A?(???0)

因为

Acos?0t?1j?0t1-j?0tAe+Ae 22根据傅氏变换的叠加性质得到

Acos?0t??A[?(???0)??(???0)]

所以，正弦信号的傅氏变换在频谱图上表示为在正负频率轴??0位置上的冲激函数[5].

3.2 信号的能量谱

设有电流信号f(t)流经电阻R,在该电阻消耗的瞬时功率为f2(t)R.若f(t)为电压信号，则瞬时功率为f2(t)R.为了讨论方便，令R?1?.则f2(t)代表了电流或者是电压信号在1?电阻上消耗的瞬时功率.它在???t??的时间内消耗的能量为

E??f2(t)dt (3.6)

???式中E称作信号f(t)的归一化能量，简称为能量.当E??为有限值时，称f(t)为能量信号.

下面我们介绍Fourier变换的理论应用之一，即帕斯瓦定理[6].

设能量信号f(t)的傅氏变换为F(?),即f(t)?F(?).则

E??????1??2f(t)dt?|F(?)|d???|F(?)|2df. (3.7) ???2???2??word文档 可编辑复制

这定理表明，信号的能量可以在时域计算也可以在频域计算.

其次，利用Fourier变换及其在通信工程理论中的应用，可描述能量在各个频率分量的分布情况，定义了能量频谱密度函数；对能量为E的能量信号f(t)，若频率函数E(?)满足

1E?2??????E(?)d???????E(?)df (3.8)

则称E(?)为f(t)的能量频谱密度函数，简称能量谱.比较式(3.7)和式(3.8)可以看出:

E(?)?|F(?)|2

即，能量信号的能量谱等于信号傅氏变换的模平方.能量谱反映了信号的能量在频率轴上的分布情况.信号的能量谱只与信号的幅度谱有关,与其相位谱无关.因此不同的信号可能有相同的能量谱，但对于一个指定的信号，其能量谱是唯一的.

为了求解一个复杂信号作用于线性系统后的响应，可以先把这个复杂信号分解成许多组成此信号的分量.用来表示信号分量的函数集常用的是正交函数集.在实际生活中使用最多的正交函数集是Fourier级数.根据具体情况可化为三角Fourier级数或指数Fourier级数. Fourier变换形式详尽而确切地表达了信号分解的结果，但往往不够直观，不能一目了然.为了能既方便又确切地表示一个信号中包含有哪些分量，各分量所占的比重怎样，根据其Fourier变换形式作出其频谱图.这也是在对信号中研究用到的数形结合思想所在.任一周期信号必定可用Fourier级数表示.一般的，因为周期信号可表示为Fourier级数

f(t)?n????Fen?jn?1t，则Fourier变换F(?)?2?n????F?(??n?)，即周期信号的频

n1?谱函数是以2?F(n)为强度的冲激谱线组成.

例5 已知f(t)为周期信号，求F(?)

f(t)4...02...141t图4 word文档 可编辑复制