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2004年考硕数学（二）真题评注

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? 0 .

n??nx2?1【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出

f(x)的表达式, 再讨论f(x)的间断点.

【详解】显然当x?0时,f(x)?0;

1(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim2?lim2n??nx?1n??1xx2x?n?0,x?0?所以 f(x)??1,

,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.

【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】

3??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为3??y?t?3t?1（??，1）（或（-?，1]）.

?x?x(t)【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ?

?y?y(t)d2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)d2y?定义的 求出二阶导数,再由 2?0 确定x的取值范围. 23?dx(x(t))dxdydy3t2?3t2?12dt【详解】 ??2?2?1?2,

dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????dx2dt?dx?dx?t2?1?3(t2?1)3(t2?1)3d2y?0 ? 令

dx2t?0.

t?0时，x?1?x?(??,1]时，曲线凸.)

又 x?t3?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(

【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、2003数二考题，也考过函数的凹凸性.关于参数方程求二阶导数是文登考研辅导班强调的重点, 类似例题见《数学复习指南》P53一般方法及【例2.9】和《临考演习》P86【题（10）】.

（3）???1dxxx?12??2.

【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】 ?【详解2】 ???1sect?tant?x?sect?2dt??2dt?.

0sect?tant02xx2?1dxdxxx?12????1x?1t?101t11(?2)dt??dt?arcsint02t11?t?12t10??2.

【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法,完全类似的例题见《数学复习指南》P130-131【例4.54】.

（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3?z?z???x?y2.

【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 z?e2x?3z?2y 的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.

?z?z?e2x?3z(2?3), ?x?x?z?z?e2x?3z(?3)?2, ?y?y?z2e2x?3z?从而 , 2x?3z?x1?3e

?z2? ?y1?3e2x?3z?z?z1?e2x?3z所以 3??2??2 2x?3z?x?y1?3e【详解2】令 F(x,y,z)?e2x?3z?2y?z?0 则

?F?F?F?2, ?e2x?3z?2, ?e2x?3z(?3)?1 ?y?x?z?F2x?3z2x?3z?ze?22e???x??? ?, 2x?3z2x?3z?F?x?(1?3e)1?3e?z?F?z22 , ???y????F?y?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?3e2x?3z?z?z1从而 3??2??2x?3z?x?y1?3e2x?3z?1?3e【详解3】利用全微分公式,得

dz?e2x?3z(2dx?3dz)?2dy

???2 ? ?2e2x?3zdx?2dy?3e2x?3zdz (1?3e2x?3z)dz?2e2x?3zdx?2dy

2e2x?3z2dx?dy ?dz?2x?3z2x?3z1?3e1?3e?z2e2x?3z?z2?? 即 , ?y1?3e2x?3z?x1?3e2x?3z 从而 3?z?z??2 ?x?y【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.相似的例题见《数学复习指南》P282【习题十第2,4题】.

6（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足yx?1?的特解为

5y?13x?x5.

【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.

【详解1】原方程变形为 先求齐次方程

dy11?y?x2, dx2x2dy1?y?0 的通解: dx2xdy1?dx y2xy?cx 1积分得 lny?lnx?lnc ?2设y?c(x)x为非齐次方程的通解,代入方程得 c?(x)x?c(x)13从而 c?(x)?x2,

212x?11c(x)x?x2 2x2