内容发布更新时间 : 2024/5/4 21:42:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.3 三角函数的图象和性质

知识梳理

1.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.

2.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出. 3.正弦曲线与余弦曲线的关系

?+x)(x∈R)，由此可知余弦函数y=cosx的图象与正弦函数2??y=sin(+x)(x∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图

22我们知道y=cosx=sin(

象.

4.正弦、余弦、正切函数的主要性质.

函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 增区间 ［?y=sinx R ［-1,1］ 2π 奇函数 y=cosx R ［-1,1］ 2π 偶函数 ［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z) ［2kπ,2kπ+π］(k∈Z) (kπ+(?{x|x≠y=tanx ?+kπ,k∈Z} 2R π 奇函数 单调性 减区间 对称对中心 称对称性 轴 ??+2kπ,+2kπ］22(k∈Z) ??+kπ,+kπ)(k∈Z) 22无 ［3??+2kπ,+2kπ］22(k∈Z) (kπ,0)(k∈Z) x=kπ+?,0)(k∈Z) 2(k?,0)(k∈Z) 2无 ?(k∈Z) 2x=kπ(k∈Z) 5.函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法. (1)“五点法”作图

用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的图象时，关键是五个点的选取.设X=ωx+φ，由X取0,

3??，π，，2π来求相应x的值及对应的y的值，再描点作图.

22(2)利用图象变换法则作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象

①相位变换 y=sinx②周期变换

y=sin(x+φ).

1

y=sinx③振幅变换 y=sinx

y=sinωx.

y=Asinx.

④当函数y=Asin(ωx+φ〔)A>0,ω>0,x∈(0,+∞)〕表示一个振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期.

2????y=sin(x+φ)?????y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)可以这样得到:y=sinx????振幅变换????y=Asin(ωx+φ).

6.三角函数的应用

三角函数的模型可以应用到实际问题 中，三角函数模型的建立程序如下:

相位变换周期变换

知识导学

要学好本节内容，可通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性.借助一定的实例展现正弦函数的图象，从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过来利用图象观察性质.

借助实例或借助计算机模拟A、ω、φ的变化对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，从而建立y=sinx与y=Asin(ωx+φ)图象的联系.从中掌握由φ→ω→A的变换，或由ω→φ→A的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象认识y=Asin(ωx+φ)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(ωx+φ)图象的方法.通过课本中的3个例题，理解将实际问题 直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，根据所得的模型解决问题 . 疑难突破

1.三角函数图象的五点法作图.

?,1)，(π,0)，23??(,-1),(2π,0)，描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.(0,1)，(,0)，(π,-1)，223?(,0),(2π,1)这五点描出后，余弦函数y=cosx，x∈［0,2π］的图象的形状也就基本2剖析:y=sinx，x∈［0,2π］的图象上有五点起决定作用，它们是(0,0)，(上确定了，因此可以用五点法作余弦函数y=cosx的图象，如图1-3-1.

2

图1-3-1

所以，在精确度要求不太高时，常常先找出这五个点，然后再用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法. 注意:(1)五点法是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题 曾出现在历届高考试题中.

(2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用. 2.周期函数.

剖析:(1)周期函数的定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)或不满足,都不能说T是y=f(x)的周期.

??????+)=sin,但是sin(+)≠sin. 424323??? 就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx

222例如sin(

的周期.

(2)从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(

xxx1x+T)=f()，T不是周期，而应写成f(+T)=f［(x+2T)］=f()，则2T是y=f(x)22222的周期.

(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.

(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期. 再如函数D(x)=??1,当x为有理数时，?0，当x为无理数时.

设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0，因此在两种情况下，都有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期. (5)“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值.

*

(6)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N)也一定是周期. (7)在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界. 3.正弦、余弦、正切函数的性质.

剖析:(1)正弦、余弦、正切函数的性质都能从其图象上得到体现，所以熟练掌握函数图象是

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