内容发布更新时间 : 2025/4/12 3:27:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2＝AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4
，BE＝5
，
，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE＝
．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
26．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点． （1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）将点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y＝ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y＝4，求出x的值，即可写出点D坐标；
（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分＝
﹣S△FGH，即可求出结果；
＝OO2
（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M＝t，可直接求出S＝
×O2M＝t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N＝（6﹣t），由S＝可求出S与t的函数表达式．
【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9）， ∵点C（0，4）在抛物线上， ∴4＝﹣27a， ∴a＝﹣
，
＝
﹣
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）（x﹣9）＝﹣
x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）， 令﹣
x2+x+4＝4，
解得，x＝0或x＝6， ∴点D的坐标为（6，4）；
（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H， ∵点F是抛物线y＝﹣∴F（3，∴FH＝
）， ﹣4＝，
x2+x+4的顶点，
∵GH∥A1O1， ∴△FGH∽△FA1O1， ∴
，
∴，
解得，GH＝1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG， ∴S重叠部分＝
﹣S△FGH
＝A1O1?O1F﹣GH?FH ＝＝
（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M， ∵C2O2∥DE， ∴△OO2M∽△OED， ∴∴
， ，
；
∴O2M＝t， ∴S＝
＝OO2×O2M＝t×t＝t2；
②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N， 将点D（6，4）代入y＝kx， 得，k＝， ∴yOD＝x，
将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b， 得，
，
解得，k＝，b＝﹣t+4，
∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4， 联立yOD＝x与y＝x﹣t+4， 得，x＝x﹣t+4， 解得，x＝﹣6+2t，
∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t）， 故点M到O2C2的距离为6﹣t， ∵C2N∥OC， ∴△DC2N∽△DCO， ∴∴
， ，
∴C2N＝（6﹣t）， ∴S＝
＝
﹣
＝OA?OC﹣C2N（6﹣t） ＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t） ＝﹣t2+4t﹣6；
∴S与t的函数关系式为：S＝．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．