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2019年高考数学理科全国1卷19题说题

3 已知抛物线C:y2?3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点分别为A,B，与x轴

2的交点为P。

（1）若|AF|?|BF|?4，求l的方程. （2）若AP?3PB，求|AB|

【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。

【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转化|AF|?|BF|?4，用相似三角形或线性运算破译AP?3PB。本题的第一问来自于教材，稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题：

题源1：【2018年全国I理8】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）

2且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM?FN= （ ）

3A。5 B。6 C。7 D。8

2题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线C：y?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8。

（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。 【解法分析】 （1）设直线l：y?35x?t,A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线定义得x1?x2?； 22联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t的方程，解方程求得结果； （2）设直线l：x?2y?m,联立直线方程与抛物线方程，利用AP?3PB 可得3y1??3y2,结合韦达定理求出y1?3,y2??1；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】

解法1：（1）设直线l与x轴交于P(m,0)，方程为x?2y?m, 33.52?x?y?m?由?得y2?2y?3m?0，设A(x1,y1),B(x2,y2), 3?y2?3x?32.5A21.51y1?y2?2，y1y2??3m， ?=4?12m?0 l 210.5323B |AF|?|BF|?x1?x2?=（y1+y2)+2m+?4232 72737得m=， 因此直线l的方程为x?y?,即y?x? 1231228

0.511.5OF12345（2）由AP?3PB，得y1??3y2, 又y1?y2?2， 从而?3y2?y2?2,故y1?3,y2??1，

11代入C的方程得x1?3,x2?，故得A(3,3),B(,?1),

33故|AB|?413 3解法2：设直线l的方程为y?3x?t,A(x1,y1),B(x2,y2), 2335由题设得F(,0)，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设得x1?x2?422

3?y?x?t?由?，得9x2?12(t?1)x?4t2?0， 2?y2?3x?4则?=144(t-1)2?4?9?4t2?144(1?2t)?0，x1?x2??(t?1)

3457从而?(t?1)?，得t??

32837因此直线l的方程即y?x?

284（2）由（1）9x2?12(t?1)x?4t2?0，得x1?x2??(t?1)

3

222又（P?t,0),AP?(?t?x1,?y1),PB?(t?x2,y2)333

2由AP?3PB,得2t?3x2=?t?x1，y1=-3y23

22可得x2=?（1+t)，x1=2?t33

338413故|AB|?1+()2|x1?x2|?1+()2?=2233.

解法3：设直线l的方程为y?33x?t,A(x1,y1),B(x2,y2),由题设得F(,0)，故 2433|AF|?|BF|?（x1?)2?y12?（x2?)2?y22 4433333?（x1?)2?3x1?（x2?)2?3x2?(x1?)?(x2?)?x1?x2??4

444425，以下略。 2

3解法4：设直线l的方程为y?(x?m),A(x1,y1),B(x2,y2),以下略。

23解法5（点差法）：（1）设直线l的方程为y?x?t,A(x1,y1),B(x2,y2),

2335由题设得F(,0)，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设得x1?x2?

42 2从而得x1?x2?由y12?y22?3x1?3x2,得3=(y1?y2)y1?y23?(y1?y2) x1?x225?y1?y2?2,弦AB的中点为M(,1),而且M在抛物线内部，

43537因此直线l的方程为y?1?(x?),即y?x?，以下略。

24283解法6：(1) 由题设得F(,0) ,设A(3a2，3a)，B(3b2，3b)，

433a?3b32由l的斜率为，得a2?b2, 2, ??a?b?223a?3b23335由抛物线的定义，得|AF|?|BF|?(3a2?)?(3b2?)?4?a2?b2?

4463a2?3b23a?3b5?弦AB的中点为M(,)?(,1)，而且M在抛物线内部，

2243537因此直线l的方程为y?1?(x?),即y?x?

2428（2）由AP?3PB,可得0?3a?3(3b?0),故a?-3b

21又由 (1)的a?b?，从而得a?1,b??

334131故A(3,3),B(,?1), 故|AB|?。

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