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《线性代数》第一章复习题解答

求1-6题中行列式的值：

501?11.D?4111a12.D4?422123?2203?22322c2?2c3按r2展开1r1?2r40?210按c4展开32??0?21?001?1?(?1)2?3??7. r?r024412045412452111110b2a30b100a4r2?r40a2b30a1??b40000b3a200a3b2b1a400c2?c4a1?b400b1a40000a3b200b3a2?a1b4b1a4b2?a3b3a2

00b4?(a1a4?b1b4)(a2a3?b2b3). （先按第一行、第四行、第一列、第四列展开也都可以）

x03.Dn?yx0000yx00n?1?00?00?00?x?0yx按c1展开x0?x00yx0?00?0y?0?0?xyx0yx?00?00?0y?0

?0xy00yn??x?0?y(?1)n?100 ?x?(?1)yn

0?00?00?xn10x2?x3?00000??各列加到第一列?x14.Dn?1x1?x2?010?0?0n?100x1?x2?010?00?00? xn10??01x2??01x2??01??xn?1x1?x2??xn?1各列加到第一列?(n?1)(?1)(n?1)?10x3??0?(n?1)(?1)nx1x2?xn.

?xn10 5. Dn?1?100??101a1000a01111,(a1a2?an?0). 也是一种爪形行列式。

00an?a2??00?an?1?0第1页共 3页

11cna11cn?1?cn?1a2cn?1? ?1cn?1?c1an100??101a10a0?00111???a1a2an00n(n?1)?(?1)2(a0Dn?1??a2???111???)a1a2?an. a1a2an0anan?1?0???22200222r1?r2r3?r2 ?rn?r200?10220021???00020020按c2展开?1222223?10?20001?00??00?00??2(n?2)!. 0n?26. D?n22?0??222222?n?12?2n??000000?n?3?00n?2?n?3?041215201242737. 已知行列式D?1010，求A41?A41?A43?A44.

4124解：A41?A42?A43?A44?4?10?10r1?2r3r4?r3120201171111?10121001027?64?1?10按c3展开?11202 ?64?114c3?6c1?1120802x按r3展开?(?1)3?1?11428??36.

x128. 求函数f(x)?131x1?12x111x的表达式中x4的系数及x3的系数.

解：（1）由定义知，当且仅当取自行列式不同行、不同列的元素均含有x时，函数表达式中x4才会出现。这样的项只有?a11a22a33a44?2x?x?x?x?2x4，故系数2为所求。

x122x122xx22xx1x1. 2x按r4展开（2）f(x)??x1?1?12x131?1?1x13x?1?x1213由于上述展开式中前三个行列式的第三列元素都是常数, 其它元素是x的零次或一次幂, 故三个行列式不

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含x3的项, 为此只需在展开式的最后一个行列式中寻找x2的项。事实上，由对角线法则知

函数表达式中含x3的项为?x3，即系数?1为所求。

?x1?3x2 ?5???x?x2?5x3?2.

9. 按克莱默规则求解线性方程组?1??? x2? x3?01?3011c2?c31?30按r3展开解：系数行列式D??105?30D1?2011c2?c35??1?451按r3展开5?1?300?31?1?41??7?0，故原方程组有唯一解，且

5?3050按r3展开5?2?451001?2?4??14；D2??125001?15?12?7；

1D3??10?351120按r3展开?(?1)3?2??7. 于是有x1?D1?2, x2?D2??1, x3?D1?1.

DDD?1215? x ? y? z ??z??4x?3y?2z??y有非零解?

10. ?取何值时, 齐次线性方程组???? x?2y?3z?λx?x ? y? (1??)z ?0??解：先将方程组化为标准形式: ?4x?(3??)y?2z?0, 其系数行列式为

???(1??)x?2y?3z?01D?41??按r1展开13??221??231???1各行加到第一行提取公因子1?(6??)41????(??1)(??6)13??212?(6??)c2?c3c1?c302?2??01???1123

3?(6??)?2??于是, 原齐次线性方程组有非零解的充要条件为D?0, 即???1, or0, or6.

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