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2018年茶陵思源实验学校九年级数学

第一章《反比例函数》知识点归纳和典型例题

一、基础知识

（一）反比例函数的概念 1．数为

（

）可以写成

（

）的形式，注意自变量x的指

这一限制条件；

，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函

数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数

的自变量

，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数

的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，

且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：

（

）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当而减小； 当

时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大

，

时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大

而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（

）在双曲线的另一支上． 图象关于直线和（

，

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）

）在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线

上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y

轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为

．

图1 图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线 当

与双曲线的关系：

时，两图象必有两个交点，

时，两图象没有交点；当

且这两个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析

1．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．y=3x B．

C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）． A．

B．

C．

D．

答案：（1）C；（2）A．

2．图象和性质

是反比例函数，

（1）已知函数

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数图象位于第________象限． （3）若反比例函数定不经过第_____象限．

（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数 则直线

不经过的象限是（ ）．

的图象上，

经过点（

，2），则一次函数

的图象一

的

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第

四象限

（5）若P（2，2）和Q（m，

）是反比例函数

图象上的两点，

则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限