内容发布更新时间 : 2024/5/24 13:58:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题3 函数的应用

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．

知识点一 函数的零点与方程的根 (1)函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 知识点二 应用函数模型解决实际问题的一般程序

读题建模求解反馈

文字语言?数学语言?数学应用?检验作答

与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．

知识点三 数形结合

在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方

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g(x)，法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.

高频考点一 函数的零点判断 例1、（2018年全国I卷理数）已知函数则a的取值范围是

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数

的图像，

在y轴右侧的去掉，再画出直线

，之后上下移动，可以发现

．若g（x）存在2个零点，

当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程

有两个解，也就是函数

有两个零点，此时满足

，即

，故选C.

2x?1?x?1)有唯一零点，则a= 【变式探究】【2017课标3，理11】已知函数f(x)?x?2x?a(e?eA．?1 2 B．

1 3 C．

1 2 D．1

【答案】C

【解析】函数的零点满足x?2x??ae设g?x??ex?1?x?12?x?1?e?x?1?， ?ex?1?e，则g??x??ex?1?e?x?1?1ex?1e2?x?1??1， ?x?1e当g??x??0时，x?1，当x?1时，g??x??0，函数g?x? 单调递减，

2

当x?1时，g??x??0，函数g?x? 单调递增， 当x?1时，函数取得最小值g?1??2， 设h?x??x2?2x ，当x?1时，函数取得最小值?1 ，

1

【变式探究】(1)函数f(x)＝e＋2x－2的零点所在的区间是( )

x

?1??1?A.?0，2? B.?2，1?

C．(1,2) D．(2,3)

logx，x>0，??2

(2)已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝?1则y＝f(x)－g(x)

??－x，x<0，的零点个数为( )

A．1 B．3 C．2 D．4

1773?1?

【解析】(1)∵f′(x)＝e＋2>0，∴f(x)在R上单调递增，又f?2?＝e－4<3－4<0，f(1)＝e－2>0，∴零

x

?1?

点在区间?2，1?上．

(2)作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，易知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.

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