内容发布更新时间 : 2024/5/13 19:17:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

教学内容：二倍角的正弦、余弦、正切（第三课时）

??11．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin2＋cos2＝_____．

315?2．若|cosθ|＝，π＜θ＜3π，那么sin的值是（ ）

52210101515A． B．－ C． D．－

5555?43．已知sin（α－β）cosα－cos（α－β）sinα＝，且β是第三象限角，则cos的值等于

52（ ）

A．±

【课前复习】

5 5 B．±

25 5 C．－

5 5 D．－

25 5

【学习目标】

（1）会综合运用倍角公式、同角三角函数关系式、诱导公式、和差公式进行三角函数式的求值、化简、证明．

（2）会利用倍角公式及其他三角公式解决一些简单的实际问题．

【基础知识精讲】

本课时的内容是进一步熟悉所学过三角函数关系式、诱导公式、和（差）公式等．综合运用这些三角公式进行化简、求值和证明三角恒等式．

重点是公式的灵活运用．

难点是公式的逆向运用及变式训练． 在本课的学习中要注意弄清下面的问题：

和、差、倍、半三角公式的内在联系及推导线索是什么？

【学习方法指导】

如何利用和、差、倍、半三角公式求值？

?［例1］已知：α，β∈［0，π］，tan2＝

??25，cos（α＋β）＝，求cosβ的值． 313分析：tan2求出cosα，sinα，tanα的值，再由cosβ＝cos（α＋β－α）便可求出．

?解：∵tan2＝

22?5＞0 ，∴cosα＝

?1331?tan22?1212＞0，tanα＝＞1 1351?tan22tansinα＝

?21?tan2?2

∴∴

?4＜α＜

?2．又∵0≤β≤π

?4＜α＋β＜

3? 25??，∴＜α＋β＜ 134212∴sin（α＋β）＝

13又∵cos（α＋β）＝

∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα ＝

5512122＋2＝1． 13131313评注：①解这类题要注意所求角与已知角之间的相互表示．

②在限制角的范围时，一二象限用余弦；三四象限用正弦；二三象限用正切，一四象限用正弦． 如何利用和、差、倍、半三角公式进行三角函数式的化简？ ［例2］化简：

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40?

分析：因为此式有弦有切，首先把切化成弦，再把分母中的根号用倍角公式化简． 解：

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70??1?cos40?

cos40??sin50?(1?3＝

cos10??3sin10?sin10?)cos40??sin50??cos10?cos10?＝

22sin70?cos20?sin70??2cos20?2sin50?132sin50??cos50?(cos10??sin10?)cos40??cos10?22cos10?＝ 222cos20?2cos20?cos40??＝

cos40??＝

sin100?cos10?＝1?cos40?

2cos220?2cos220??2．

＝

2cos220?2cos220?评注：解这类化简题要注意以下几个问题：①要化简到最简形式，②有弦有切的形式一般把切化成弦，带有根号的用倍角公式（平方公式）去根号，③注意公式的逆用与asinα＋bcosα＝a2?b2sin（α＋?）形式的化简．

如何利用和、差、倍、半角公式进行三角恒等式的证明？

［例3］求证：（1）［sinθ（1＋sinθ）＋cosθ（1＋cosθ）］2［sinθ（1－sinθ）＋cosθ（1－cosθ）］＝sin2θ；

3

（2）cos3θ＝4cosθ－3cosθ；

1?2sin?cos?1?tan??（3）．

cos2??sin2?1?tan?分析：（1）把左边去括号便可推出右端；（2）考虑到左边含3θ，右边含θ，只须把cos3θ按和

22

角公式展开即可；（3）右边＝tan（45°＋α），左边把1用sinα＋cosα替换便可证出．

2222

证明：（1）左边＝（sinθ＋sinθ＋cosθ＋cosθ）2（sinθ－sinθ－cosθ＋cosθ）

2

＝（sinθ＋cosθ＋1）（sinθ＋cosθ－1）＝（sinθ＋cosθ）－1

＝2sinθcosθ＝sin2θ＝右边． ∴原式成立．

（2）左边＝cos（θ＋2θ） ＝cos2θcosθ－sin2θsinθ

22

＝（2cosθ－1）cosθ－2sinθcosθ

32

＝2cosθ－cosθ－2cosθ（1－cosθ）

3

＝4cosθ－3cosθ＝右边． ∴原式成立．

sin2??cos2??2sin?cos?③左边＝

cos2??sin2?(sin??cos?)2sin??cos?＝＝ (cos??sin?)(cos??sin?)cos??sin?sin?cos?＝cos??sin? 右边＝

sin?cos??sin?1?cos?1?∴左边＝右边 ∴原式成立．

评注：一般情况下，证明三角恒等式，可以从左边推到右边，也可以从右端推到右边，本着化繁为简的原则；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时改正其等价命题可能更为方便．不管采用哪一种方式，证明时都要盯住目标，据果变形．

三角公式在代数中是如何应用的．

［例4］证明：内切圆半径为定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小． 分析：如图4－7－2所设．由已知得α＋β＝45°，l＝2（x＋y＋r），本题的目的是要证明，当l取最小值时，α＝β，故我们要找出变量x，y与已知r以及角α、β的三角函数之间的关系，并利用α＋β＝45°，写出角α或β的三角函数表示l的函数式．

图4－7－2

证明：如图4－7－2：设∠OAB＝α，∠OBA＝β，AF＝AD＝x，BE＝BD＝y，△ABC的周长为l， ∵∠C＝90°，⊙O为△ABC内切圆．

∴2β＝90°－2α，即α＋β＝45°或α－β＝2α－45° ∵x＝rcotα，y＝rcotβ

∴l＝2（x＋y＋r）＝2r（cotα＋cotβ＋1） ＝2r（

cos?cos??＋1） sin?sin?sin(???)＋1）

sin?sin?＝2r（

＝2r［

sin45?1??cos??????cos??????2＋1］