相似性总复习 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/6/16 14:55:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

相似形系列复习一

上海市江镇中学 姜正军

教学目标:

1、 掌握相似三角形的判定和性质,并能熟练运用其解决某一重要类型“一线三等角”的综

合题。

2、 经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程,再次体验图形运动、分类讨论、方程

与函数等数学思想。

3、 通过问题的解决,体验探究问题成功的乐趣,积极探索,提高学习几何的兴趣。 重点难点:

1、 相似三角形的判定、性质及其应用

2、 与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法。 教学方法:启发式教学法、尝试指导教学法。 教学过程: 一、复习提问

1、相似三角形的概念,2、相似三角形的判定,3、相似三角形的性质 二、从课本例题说开去,引出主题 (P.38)例题6 如图,已知△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点P、D分别在边BC、AC上,BP=12,∠APD=∠B.求CD的长.

通过此例引导学生将证明△ABP与△PCD相似的过程一般化.进一步若把点P看作是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,保持∠APD=∠B(其中点D在BC边上),则点P在上移动的过程中,总有△ABP与△PCD相似吗?进而点出在一条直线AB上∠B、∠C、∠APD三角相等的特殊性。

三、习题举隅,直扣主题。

(通过一道简单的例题讲解及其变式练习,初步认识本节课的复习题型。)

00

例1、如图,AD∥BC,AD≠BC,∠D=90,在边DC上有一点P,使得∠APB=90,问:△ADP与△BPC相似吗? 证明:∵AD∥BC

0

∴∠D+∠C=180B

00

∵∠D=90∴∠C=∠D=90

0A

又∵∠APB=90

1

∴∠C=∠D=∠APB

2 ∵∠APC=∠D+∠1

D C

P ∠APC=∠APB+∠2

∴∠1=∠2∴△ADP∽△PCB

(补充:∠1=∠2的证明也可以利用“同角的余角相等”进行证明,即∠1+∠APD=

0

∠APD+∠2=90.) 变式练习一:

0

当点P在CD上运动,使得∠APB=90不变,△ADP与△PCB还相似吗?(运用多媒体演示,学生口答)

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变式练习二:当点P在CD上运动,且∠APB=90不变,△APB与△PCB会相似吗?如果相似,点P在什么位置呢?(学生动手尝试性操作,可分组交流) 探讨结果:当点P在CD的中点时,△ADP∽△PCB∽△APB 证明:(学生口述,教师板演)

∵△ADP∽△PCB(已证) ∴DP?BC

APBPB

又∵DP=CP ∴CP?BC APBPD

A 1 P 2 C ∵∠C=∠APB∴△PCB∽△APB

(两边对应成比例且夹角相等两三角形相似) 变式练习三:

如图:在四边形ABCD中,∠C=∠D,P是边DC上的一点,且满足∠C=∠APB, 问:图中有相似三角形吗?若有,是哪两个三角形? 小结:回顾例1和变式,归纳图形特征,“四边形中,某一边上若出现三个角相等,且与上图类似”,要考虑证明方法也雷同. 四、团结协作,层层深入.

(通过例题2的探讨,进一步认识本节课的复习题型,并学习独立分析解决归纳问题。)

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例2、如图已知正方形ABCD的边长为2,E是边AB的中点,点F在边BC上移动,∠FEG=90,边EG交边AD于点G,连接AC,交GE于点P,交GF于点Q

问(1)设FC=x,GF=y,求出y关于x的函数解析式,并写出定义域. (2)当△AEP与△CFQ相似时,求FC的长。(留待课后讨论。) 函数解析式的探究:

分析:思路一(图1):由△BEF∽△EGF得

BFEF ?EFGF2得FE2=BF·GF,又因为EF=(2?x)?1, (图1)

x2?4x?5所以((2?x)?1)?(2?x)?y,∴y?

2?x22A P G E

B

1思路二(图1):由△BEF∽△AGE 得AG=,

2?x然后在Rt△AGE中GE=Rt△EBF中,EF=F

Q H

AE2?AG2 (图2) D C M BE2?BF2,

22 Rt△EGF中,GF=GE?EF

思路三(图2):过G作GH⊥BC于点H,由AG=

1 2?xA P G E B

11?(2?x), 得BH=,由BF=2-x得FH=2?x2?xF

Q 在Rt△GHF中用勾股定理列式 (图3)

(因为F点可能在线段BH上,也可能在线段CH上,所以求FH时

D

一定要加绝对值符号)

C

思路四(图3):分别延长GE、CB交于点M,则有△AGE≌△BME, △GEF≌△MEF,得GF=MF= BF+BM,即y=2-x+

1 2?x小结:各种思路的本质是相似

定义域的探究:F点向下运动与C重合为止,F向上运动时点G则向下运动,到G与D重合为止,在确定定义域时,既要考虑主动点,也要考虑被动点。 本题定义域为:0?x?3. 2五、归纳小结:(学生归纳本节课重点讨论的是哪一种题型及其注意事项及技巧) 1、分类讨论思想的渗透; 2、图形运动变化的思想;

3、要善于补充辅助图形,以利于分析问题;

4、定义域确定时要注意点的运动范围,寻求极限点的位置,更要注意主动点和被动点的既关联又相互制约关系。 六、作业布置

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1、 如图,在Rt△ABC中,∠C=90,AD⊥MN,BE⊥MN,点C在直线MN上,且∠DAF=∠CAB,

(1)你认为图中有几对相似三角形?并逐一加以证明.(2)证明:DF=CE (08学年调研卷)

2、 已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E为的AB中点,AD=5,BC=6,cosB=1\\8(1)求AB的长(2)如果P为BC上的点,且满足∠EPD=∠B时,求BP的长.(3)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M. ①当点F在线段CD延长线上时,设BP=x,DF=y,求y于x的函数解析式及定义域.②当MD=3时,求BP的长. (2010学年调研卷)

3、 如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AD=9,cosB=3\\5,P在BC边上的动点(与点B、

C不重合),作∠APQ=∠B,PQ交射线AD于点Q,设BP=x,QD=y.(1)求BC的长;(2)求AP的长(用x的代数式表示);(3)当点Q在AD的延长线上时,求y与x的函数解析式;(4)联结QC,如果△DQC是等腰三角形,求CQ的长(只需写出结果). (09学年调研卷)

4、 已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=CD=2.

(1) 如图,P为AD上一点且满足∠A=∠CPB .①求证:△ABP∽△DPC;②求AP的长 (2)如果点P在AD边上移动(点P不与A、D重合),且满足∠A=∠EPB,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域。②当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程)

CDMAFENAEDBBPC

(1) (2)

ADQA P

D B

(3) (4)

【教案设计说明】:

如何复习:是单纯地做题讲题,还是做试卷讲试卷,虽然忙忙碌碌,十分辛苦,但这样不利于学生创新思维的培养,而且影响数学能力的提高。本节课试图改变这种被动的复习方法,引导学生积极探索、思考,达到既掌握知识,又提高了能力。

根据二期课改的要求,教师要注意把握教材设计的意图,创造性使用课本、开发课程,引导学生从数学本质属性的角度进行思考、提出质疑,形成数学问题,以满足不同层次的学生的学习需求。在教案的设计中,我以课本例题为本,展开的问题源于课本、高于课本,引导学生积累数学学习的经历与经验,初步地学会数学地思考问题,对课本问题的变更和推广,能进行类比、归纳、转化,形成从特殊到一般的探求问题的策略。

PCB C