内容发布更新时间 : 2024/11/16 15:21:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
相似形系列复习一
上海市江镇中学 姜正军
教学目标：
1、 掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决某一重要类型“一线三等角”的综
合题。
2、 经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程
与函数等数学思想。
3、 通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣。 重点难点：
1、 相似三角形的判定、性质及其应用
2、 与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法。 教学方法：启发式教学法、尝试指导教学法。 教学过程： 一、复习提问
1、相似三角形的概念，2、相似三角形的判定，3、相似三角形的性质 二、从课本例题说开去，引出主题 （P.38）例题6 如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B.求CD的长.
通过此例引导学生将证明△ABP与△PCD相似的过程一般化.进一步若把点P看作是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，保持∠APD=∠B（其中点D在BC边上），则点P在上移动的过程中，总有△ABP与△PCD相似吗？进而点出在一条直线AB上∠B、∠C、∠APD三角相等的特殊性。
三、习题举隅，直扣主题。
（通过一道简单的例题讲解及其变式练习，初步认识本节课的复习题型。）
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例1、如图，AD∥BC,AD≠BC,∠D=90,在边DC上有一点P，使得∠APB=90,问：△ADP与△BPC相似吗？ 证明：∵AD∥BC
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∴∠D+∠C=180B
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∵∠D=90∴∠C=∠D=90
0A
又∵∠APB=90
1
∴∠C=∠D=∠APB
2 ∵∠APC=∠D+∠1
D C
P ∠APC=∠APB+∠2
∴∠1=∠2∴△ADP∽△PCB
（补充：∠1=∠2的证明也可以利用“同角的余角相等”进行证明，即∠1+∠APD=
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∠APD+∠2=90.) 变式练习一:
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当点P在CD上运动，使得∠APB=90不变，△ADP与△PCB还相似吗？（运用多媒体演示，学生口答）
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变式练习二：当点P在CD上运动，且∠APB=90不变，△APB与△PCB会相似吗？如果相似，点P在什么位置呢？（学生动手尝试性操作，可分组交流） 探讨结果：当点P在CD的中点时，△ADP∽△PCB∽△APB 证明：（学生口述，教师板演）
∵△ADP∽△PCB(已证) ∴DP?BC
APBPB
又∵DP=CP ∴CP?BC APBPD
A 1 P 2 C ∵∠C=∠APB∴△PCB∽△APB
(两边对应成比例且夹角相等两三角形相似) 变式练习三:
如图：在四边形ABCD中，∠C=∠D，P是边DC上的一点，且满足∠C=∠APB, 问：图中有相似三角形吗？若有，是哪两个三角形？ 小结：回顾例1和变式，归纳图形特征，“四边形中，某一边上若出现三个角相等，且与上图类似”，要考虑证明方法也雷同. 四、团结协作，层层深入.
（通过例题2的探讨，进一步认识本节课的复习题型，并学习独立分析解决归纳问题。）
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例2、如图已知正方形ABCD的边长为2，E是边AB的中点，点F在边BC上移动，∠FEG=90,边EG交边AD于点G,连接AC,交GE于点P,交GF于点Q
问（1）设FC=x,GF=y,求出y关于x的函数解析式，并写出定义域. （2）当△AEP与△CFQ相似时，求FC的长。（留待课后讨论。） 函数解析式的探究：
分析：思路一（图1）：由△BEF∽△EGF得
BFEF ?EFGF2得FE2=BF·GF,又因为EF=(2?x)?1， （图1）
x2?4x?5所以((2?x)?1)?(2?x)?y,∴y?
2?x22A P G E
B
1思路二（图1）：由△BEF∽△AGE 得AG=,
2?x然后在Rt△AGE中GE=Rt△EBF中,EF=F
Q H
AE2?AG2 （图2） D C M BE2?BF2,
22 Rt△EGF中,GF=GE?EF
思路三（图2）：过G作GH⊥BC于点H,由AG=
1 2?xA P G E B
11?(2?x)， 得BH=,由BF=2-x得FH=2?x2?xF
Q 在Rt△GHF中用勾股定理列式 （图3）
（因为F点可能在线段BH上，也可能在线段CH上，所以求FH时
D
一定要加绝对值符号）
C
思路四（图3）：分别延长GE、CB交于点M,则有△AGE≌△BME, △GEF≌△MEF,得GF=MF= BF+BM,即y=2-x+
1 2?x小结：各种思路的本质是相似
定义域的探究：F点向下运动与C重合为止，F向上运动时点G则向下运动，到G与D重合为止，在确定定义域时，既要考虑主动点，也要考虑被动点。 本题定义域为：0?x?3. 2五、归纳小结：（学生归纳本节课重点讨论的是哪一种题型及其注意事项及技巧） 1、分类讨论思想的渗透； 2、图形运动变化的思想；
3、要善于补充辅助图形，以利于分析问题；
4、定义域确定时要注意点的运动范围，寻求极限点的位置，更要注意主动点和被动点的既关联又相互制约关系。 六、作业布置
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1、 如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AD⊥MN，BE⊥MN，点C在直线MN上，且∠DAF=∠CAB，
（1）你认为图中有几对相似三角形？并逐一加以证明.（2）证明：DF=CE (08学年调研卷)
2、 已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,E为的AB中点，AD=5，BC=6，cosB=1\\8（1）求AB的长（2）如果P为BC上的点，且满足∠EPD=∠B时，求BP的长.（3）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M. ①当点F在线段CD延长线上时，设BP=x，DF=y，求y于x的函数解析式及定义域.②当MD=3时，求BP的长. （2010学年调研卷）
3、 如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=5，AD=9，cosB=3\\5，P在BC边上的动点（与点B、
C不重合），作∠APQ=∠B，PQ交射线AD于点Q，设BP=x，QD=y.（1）求BC的长；（2）求AP的长（用x的代数式表示）；（3）当点Q在AD的延长线上时，求y与x的函数解析式；（4）联结QC，如果△DQC是等腰三角形，求CQ的长（只需写出结果）. （09学年调研卷）
4、 已知在梯形ABCD中，AD∥BC,AD＜BC，且AD=5,AB=CD=2.
(1) 如图，P为AD上一点且满足∠A=∠CPB .①求证：△ABP∽△DPC;②求AP的长 （2）如果点P在AD边上移动（点P不与A、D重合），且满足∠A=∠EPB,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。②当CE=1时，写出AP的长（不必写出解题过程）
CDMAFENAEDBBPC
(1) (2)
ADQA P
D B
(3) (4)
【教案设计说明】：
如何复习：是单纯地做题讲题，还是做试卷讲试卷，虽然忙忙碌碌，十分辛苦，但这样不利于学生创新思维的培养，而且影响数学能力的提高。本节课试图改变这种被动的复习方法，引导学生积极探索、思考，达到既掌握知识，又提高了能力。
根据二期课改的要求，教师要注意把握教材设计的意图，创造性使用课本、开发课程，引导学生从数学本质属性的角度进行思考、提出质疑，形成数学问题，以满足不同层次的学生的学习需求。在教案的设计中，我以课本例题为本，展开的问题源于课本、高于课本，引导学生积累数学学习的经历与经验，初步地学会数学地思考问题，对课本问题的变更和推广，能进行类比、归纳、转化，形成从特殊到一般的探求问题的策略。
PCB C